¿Hay un subconjunto de plano abierto vacío no vacío cuyo límite no contiene 1 intervalo dimensional?

Question

Alguien le preguntó una pregunta aquí que no ha recibido una respuesta correcta porque todo el mundo parece estar interpretando mal la pregunta. Me gustaría hacer la pregunta de nuevo.

¿Existe un vacío delimitado abrir subconjunto $\Omega$ $\mathbb{R}^2$ tal que no es continua inyectiva mapa de $[0,1]\to \partial\Omega$?

Tenga en cuenta que no estoy preguntando sobre un continuo bijection porque entonces el problema es trivial (por ejemplo, el no es continua bijection de $[0,1]$ hasta el límite de una pelota).

Answer 1

Como contestada por Eric Wofsey en MathOverflow, un conjunto abierto está dada por la limitada componente del complemento de pseudo-círculo. Pseudo-círculo, un pariente cercano de la pseudo-arco, fue introducido por R. H. Bing en Relación hereditariamente indecomposable continua (Pacífico J. Math. Volumen 1, Número 1 (1951), 43-51.). Aquí está una descripción de: comenzar con una circular de la cadena de discos como el de abajo, a continuación, crear otra cadena en el interior, lo que es torcido, es decir, con un montón de ida-y-movimiento (definición precisa en Bing en papel). En la imagen, el más pequeño de la cadena está representada por una curva poligonal; usted debe imaginar que cubre esta curva con pequeños círculos. El proceso continúa indefinidamente, y la intersección de todas estas cadenas es un pseudo-círculo.

La ilustración es de la tesis doctoral Factorwise Rigidez que Implican Hereditariamente Indecomposable Espacios por Kevin B. Gammon.