¿Ideales como un anillo entero algebraico?

Question

Deje $\mathcal{O}_K$ ser el anillo de enteros de algunas campo de número de $K$.

Sucede que $\mathcal{O}_K$ no podría haber única factorización, pero...

• Podemos formar el grupo multiplicativo de los ideales de $\mathcal{O}_K$
• Tiene única factorización
• Esta construcción no parece ser un anillo
• Cada ideal se puede poner en la forma $(\alpha,\beta)$ con ambos $\alpha,\beta \in \mathcal{O}_K$

Creo que el ideal $(\alpha,\beta)$ representa el mcd de a $\alpha$ $\beta$ (análogo al campo de fracciones) así que ¿por qué no podemos construir un nuevo anillo de los enteros algebraicos que ha mcd cerrado y único de la factorización?

Answer 1

En cierto sentido, podemos; creo que esto es lo que el anillo de enteros en la Hilbert campo de la clase .

Sin embargo, yo no creo que esta sea la manera correcta de pensar sobre el movimiento de los elementos ideales en general. El punto de pasar a los ideales se resumen las principales propiedades que quieren salir de divisibilidad: $m | n$ si y sólo si el ideal $(m)$ contiene el ideal $(n)$. Por lo que la estructura natural de los ideales es como un entramado ordenado por inclusión, y sólo pasa a ser un hecho feliz acerca de los dominios de Dedekind que este entramado es isomorfo a un producto de copias de $\mathbb{N}$, uno para cada uno de los prime ideal. En general, la estructura de orden en los ideales es mucho más complicado y la idea de que uno puede pensar acerca de los ideales como la generalizada elementos se rompe (por ejemplo, intentar aplicar esta filosofía a $F[x, y]$ $F$ un campo).

Answer 2

No hay "inversas aditivas" a los ideales. Sin embargo, los ideales de un anillo forman un semiring - vea esta pregunta MO .