Serie útil para prueba de comparación límite

Question

Ya sé la serie de armónicos ($1/n$, que diverge) y siguiendo el enlace,$1/n^2$ que converge.

¿Qué otra serie útil podría enseñarme, o quizás algún consejo general? Cualquier sitio web / recurso también es bienvenido, ya que la mayoría de mi búsqueda revela solo el armónico y no mucho más. (¡Sé cómo ejecutar la prueba!).

¡Que tengas un buen día!

Answer 1

No es la generalización de lo que se pone por encima, el llamado $p$de la serie. Deje $p\in \mathbb{R}$, luego $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$ converges if and only if $p>1$. Esto puede ser demostrado mediante la integral de la prueba mencionada por Shai Covo.

También son de interés de la alternancia de la serie, tales como $$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$ since there are good tests to see if they converge. (The above sum converges) Specifically, the alternating series test tells us that if we have a sequence $a_n$ con

(1) $a_n\cdot a_{n+1} <0$ por cada $n$ (se alterna signos)

(2) $|a_{n+1}|\leq |a_n|$

(3) $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n =0$

A continuación, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge. Entonces, esto trae a colación el tema de Condicional y Absoluta convergencia. Para una generalización de la alternancia de serie de la prueba, ver Dirichlets de la Prueba. (Esta prueba nos permite dar las condiciones de convergencia para series como $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin (n)$)

Espero que ayude,

Answer 2

Consejo General: considerar la integral de la prueba para la convergencia. Como un ejercicio, se aplican a la serie $\sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{n(\log n)^\alpha }}}$, $\alpha > 0$ fijo. Para que $\alpha$ hace la serie coverge?

Otra prueba útil es la alternancia de serie de la prueba. Véase también la convergencia de las pruebas.