¿Hay subconjuntos apropiados$1/2$ convexos de grupos finitos?

Question

De acuerdo a este documento por N. H. Bingham y A. J. Ostaszewski,

Un subconjunto $H$ de un grupo de $G$ se dice $1/2$ convexa (o punto medio convexo)
si para cada una de las $x,y\in H$, no existe un único elemento $z_{x,y}\in H$ satisfacer la ecuación de $z_{x,y}^2=xy$.

Mis preguntas son,

1. Puede haber alguna $1/2$ convexo adecuada subconjuntos de grupos finitos? si no, ¿por qué?
2. ¿Cuáles son los otros conceptos de la convexidad en grupos finitos ?

Answer 1

Como frank000 señala, cualquier grupo cíclico de orden impar es $1/2$-convexo. Así que si usted tiene un no-cíclico $1/2$-convexo grupo y tomar un elemento de orden impar, el subgrupo generado será un adecuado $1/2$-convexo subgrupo. Por ejemplo, vamos a $n$ ser un entero positivo impar y considerar la posibilidad de $\mathbb G=Z_n^2$. Esta es una $1/2$-convexo grupo y el subgrupo $H$ generado por $(1,0)$ $1/2$- convexo.

Como Hagen von Eitzen sugerido en los comentarios, una generalización natural sería: dado enteros positivos $m$$n$, un subgrupo $H$ $G$ $(m,n)$- convexo si para todas las $x,y\in H$, no existe un único $z\in H$ tal que $x^my^n=z^{m+n}$ (por lo que en esta nueva terminología, $1/2$-convexidad es el mismo que $(1,1)$-convexidad). Por ejemplo, $\mathbb Z_k$ $(m,n)$- convexa si y sólo si $k$ $m+n$ son coprime. En particular, esto muestra que no hay finito grupo cíclico $G$ $(m,n)$- coprime para todos los $m,n$.