Demuestre que una aceleración distinta de cero es perpendicular a una velocidad constante

Question

Tomar la diferenciable vector de la función $\vec{v}(t)$ (un vector de velocidad). Si su velocidad, $|\vec{v}(t)|=constant$, luego de demostrar que en cualquier punto de que $\frac{d\vec{v}}{dt}$ es distinto de cero, $\frac{d\vec{v}}{dt}$ es perpendicular a $\vec{v}(t)$.

En otras palabras, si un vector velocidad tiene una velocidad constante, muestran que cuando su vector de aceleración no es cero, es perpendicular a que el vector de velocidad.

Intuitivamente esto parece claro, ya que siempre que la velocidad se mantiene constante, la aceleración es 0. Por qué a pesar de que son la velocidad y la aceleración de los vectores perpendiculares a pesar de que? Debido a que no comparten intersección cuando la aceleración no es cero ya que la velocidad es constante?

Estoy suponiendo que de alguna manera debe mostrar que $\vec{v} \cdot \vec{a} = 0$. La cosa es, que no puedo averiguar qué sabiendo que la velocidad es constante nos dice acerca de la velocidad. No obstante, puede ser cualquier cosa (como algunas funciones trigonométricas cuadrar y convertirse en 1 a través de una identidad)?

Answer 1

Se puede aplicar la regla del producto a la hora de diferenciar $\vec v\cdot\vec v =$constante.

La idea intuitiva es que $\vec v(t)$ trazas una curva en una esfera centrada en el origen (es decir, la imagen $\vec v(t)$ como un movimiento de la radio vector), mientras que $\vec v'(t)=\vec a(t)$ es tangente a la esfera, y por tanto perpendicular al radio en el punto de tangencia, es decir,$\vec v(t)$.

También hay una descripción geométrica de lo que este dice en términos de la curva original, decir $\vec x(t)$, de los cuales, $\vec v(t)$ da la velocidad. Desde $\vec v(t)$ da un vector tangente a la trayectoria de $\vec x(t)$, y en su caso $\vec a(t)$ es perpendicular a $\vec v(t)$, $\vec a(t)$ es perpendicular a la trayectoria de la curva original $\vec x(t)$.

La aceleración puede ocurrir por 2 razones. En general, el componente de $\vec a(t)$ en la dirección de la trayectoria (o al frente de esta dirección) le dice cómo la velocidad está cambiando, mientras que el componente de $\vec a(t)$ perpendicular a la trayectoria indica cómo la dirección está cambiando. Así que, de nuevo, en caso de que la velocidad es constante, $\vec a(t)$ es perpendicular a la curva. Su dirección indica la dirección en la que $\vec x(t)$ está girando, mientras que su magnitud indica cómo rápidamente $\vec x(t)$ es cambiar de dirección. Esta última cantidad es una constante múltiples de la curvatura de $\vec x(t)$.

Answer 2

La forma más corta es notar que:

ps

Después de diferenciar:$$v^2=\vec{v}\cdot\vec{v}$ $ Done.

Answer 3

Si$v(t) = \bigl(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)\bigr)$ (no sé en qué dimensión está trabajando), la velocidad viene dada por$$||v(t)|| = \sqrt{ x_1(t)^2 + \cdots + x_n(t)^2}.$ $ Dado que esto es constante, digamos igual a$k$, entonces tiene% ps

Ahora tome derivados con respecto a$$k^2 = x_1(t)^2 + \cdots + x_n(t)^2.$. Compare eso con$t$ (recordando que$v\cdot a$).

(Por supuesto, si$a(t) = v'(t)$ es cero, entonces también es perpendicular a$\frac{dv}{dt}$, ya que$v(t)$ es perpendicular a cada vector ...)

Answer 4

Lema 1: el vector de velocidad es tangente a la curva de velocidad.

Luego considera la aceleración como un límite de diferencia de velocidad. Como la magnitud del vector de velocidad es constante, el vector de velocidad atraviesa el círculo de un radio constante. La diferencia de los dos vectores de velocidad infinitamente cercanos es perpendicular al radio, por lo tanto, es perpendicular al vector de velocidad. Aquí la solución sigue inmediatamente.