Supongamos que$\xi_1, \xi_2,\ldots$ son iid variables aleatorias con la media$\mu$, varianza$\sigma^2$. Forma la suma aleatoria$S_{N} = \xi_{1}+\cdots+\xi_{N}$.

Question

(a) Calcular la media y la varianza de $S_{N}$ al $N$ tiene distribución de Poisson con parámetro de $\lambda$.

Hasta ahora, para la media, tengo lo siguiente:

$E[S_{N}] = E[E[S_{N}\mid N=n]]$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} E[\xi_{1}+\cdots+\xi_{N}\mid N=n] p_{N}(n)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} E[\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}\mid N=n] p_{N}(n)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} E[\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}] p_{N}(n)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (E[\xi_{1}]+\cdots+E[\xi_{n}]) p_{N}(n)$$

$$ = \sum_{n=1}^{\infty} n\mu p_{N}(n)$$

$$ = \mu \sum_{n=1}^{\infty} n p_{N}(n)$$

$ = \mu \lambda$.

Son mis pasos legales?

También, para la varianza tengo lo siguiente:

$\operatorname{var}(S_{N}) = \operatorname{var}(E[S_{N}\mid N=n]) + E[\operatorname{var}(S_{N}\mid N=n)]$

$$ = \operatorname{var}(E[\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}\mid N=n]) + E[\operatorname{var}(\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}\mid N=n)]$$

$$ = ? + \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{var}(\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}) p_{N}(n)$$

$$ = ? + \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{var}(\xi_{1}+\cdots+\xi_{n}) p_{N}(n)$$

$$ = ? + \sigma^2 \sum_{n=1}^{\infty} n p_{N}(n)$$

$ = ? + \sigma^2 \lambda$.

Obviamente, estoy atascado y no sabes cómo manejar el lado izquierdo de la suma. Puede alguien por favor explique en detalle los pasos a seguir. Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}}\newcommand{\E}{\operatorname{E}}$La distribución de los $S_N$ se llama un "compuesto distribución de Poisson". $$ \var(S_N \mediados N=n) = \var(S_n) = n\sigma^2. $$ Por lo tanto $$ \var(S_N\mediados N) = N\sigma^2, $$ así $$ \E(\var(S_N\mediados N)) = \sigma^2\E(N) = \sigma^2\lambda. $$ A continuación tenemos $$ \E(S_N\mediados N=n) = \E(S_n) = n\mu. $$ Por lo tanto $$ \E(S_N\mediados N)) = N\mu, $$ y así $$ \var(\E(S_N\mediados N)) = \var(N\mu) = \mu^2 \var(N) = \mu^2\lambda. $$ En consecuencia $$ \var(S_N) = \lambda(\mu^2+\sigma^2). $$

Tenga en cuenta que esto es$\lambda\E(S_1^2)$, y también ver este artículo en cumulants de distribuciones de Poisson compuesto. En el caso en que $\lambda=1$, se encuentra que el cumulants (incluyendo la varianza) de un compuesto de la variable aleatoria de Poisson $S_N$ son sólo la cruda momentos de $S_1$. (Para grado $k\ge4$ (y también para$k=1$) $k$th cumulant no es sólo el $k$ésimo momento central, pero la varianza es el momento central y el cumulant de grado $2$.)

Answer 2

Su primera solución parece razonable.

No estoy seguro de entender lo que su segunda solución, incluso significa realmente, con el valor esperado de la varianza condicional y así sucesivamente. A lo mejor funciona, es solo que no estoy seguro de cómo analizarlo.

Aquí es una idea diferente: escribir

$$\text{Var}(S_N)=E[S_N^2]-(E[S_N])^2=E[S_N^2]-\mu^2 \lambda^2$$

el uso de la parte 1. Ahora

$$E[S_N^2]=\sum_n E[S_N^2 \mid N=n] P[N=n].$$

Así que ahora que usted necesita para ser capaz de calcular $E[S_n^2]$ por cada $n$. Usted tiene los siguientes:

$$E[S_n^2]=\sum_{i=1}^n E[X_i^2] + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n 2 E[X_i X_j].$$

Esto viene a partir de la recopilación de los términos de la matriz 2D cuya suma es $S_n^2$; la idea es muy similar a la idea que hay detrás de el teorema del binomio. Así el problema se reduce al cálculo de $E[X_i^2]$$E[X_i X_j]$, junto con la computación algunas sumatorias. Se puede terminar de aquí?