Es álgebra lineal más "completamente entendido" que el de otras disciplinas matemáticas?

Question

En una reciente pregunta, se discutió cómo LA fundación a otras ramas de las matemáticas, sea pura o aplicada. Una respuesta argumentado que los problemas de programación lineal son completamente entendido, y por lo tanto un objetivo natural para reducir prácticamente nada.

Ahora, es suficientemente evidente que una de linealización, si es posible, tiende a tomar las cosas más fáciles. Encontrar un espacio de Hilbert ocultos en su dominio, obtener una base ortonormales, y bam, cualquier punto/estado puede ser descrito como una mera secuencia de números, cualquier asignación se reduce a una matriz; tenemos algunas buenas teoremas de existencia de inversos / autovectores/exponencial objetos / etc..

Así, LA certeza es conveniente.

OTOH, parece poco probable que cualquier no-trivial matemático sistema podría decirse que es completamente entendido. No siempre podemos encontrar nuevas preguntas dentro de cualquier marco de trabajo que aún no ha sido contestado? Yo no soy lo suficientemente firme con Gödel los teoremas de incompletitud para juzgar si son pertinentes aquí. El primer teorema de la incompletitud dice que las disciplinas como la teoría de números no puede ser completa y coherente. Sin duda, esto es más cierto para, por ejemplo, de la topología.

Es LA que por alguna razón exentos de tales argumentos, o por alguna otra razón merece ser llamado el mejor entendido rama de las matemáticas?

Answer 1

Es más cerca de la verdad que todas las preguntas en lo finito-dimensional de álgebra lineal que se puede pedir en un curso de introducción pueden ser respondidas en un curso introductorio. Esto es demasiado lejos de la verdad en la mayoría de las otras áreas. En teoría de números, topología algebraica, geométrica de la topología, la teoría de conjuntos, y teóricos de la ciencia de la computación, por ejemplo, aquí hay algunas preguntas que usted podría pedir a una semana de comenzar el tema: ¿cuántos números primos hay, separados por dos? Cuántos homotopically distintos mapas que hay entre dos espacios? ¿Cómo podemos diferenciar dos cuatro dimensiones de los colectores? Hay establece entre un conjunto y sus powerset en cardinalidad? Son varios los naturales de la complejidad de las clases realidad distinta?

Ninguna de estas preguntas se encuentran en cualquier lugar cerca respondido completamente, sólo uno es realmente en cualquier lugar cerca, de hecho uno es conocido por ser incontestables en general, y las respuestas parciales a cada uno de estos se han ganado enormes elogios de la comunidad matemática. Sin este fenómeno puede ser observado en finito dimensionales de álgebra lineal, donde la podemos clasificar en cuestión de un par de charlas de todos los objetos posibles, dar explícita algoritmos para determinar cuando dos ejemplos son isomorfos, determinar con precisión la estructura de los espacios de mapas entre dos espacios vectoriales, y entender en detalle cómo representar los morfismos en diversas formas susceptibles de cálculo. Así álgebra lineal se convierte en el arquetipo de ejemplo de un éxito completo matemático de campo, y una poderosa herramienta a la hora de otros campos matemáticos puede reducirse a ella.

Esta es una explicación ampliada de la afirmación de que el álgebra lineal es "bien entendido". Eso no significa que "se entiende totalmente," como usted dice!

Answer 2

Las partes duras de álgebra lineal se han dado nuevos y diferentes nombres, tales como la teoría de la representación, la teoría de invariantes, la mecánica cuántica, análisis funcional, las cadenas de Markov, C*-álgebras, métodos numéricos, álgebra conmutativa, y la K-teoría. Aquellos que están llenos de misterios y problemas abiertos.

Lo que queda como el "álgebra lineal" enseña a los estudiantes es un tema menor, que era sobre todo terminó en un centenar de años atrás.

Answer 3

Revistas como "Álgebra Lineal y sus Aplicaciones" publicar documentos, de modo que, ciertamente, no todo sobre el Álgebra Lineal es conocido. Definitivamente, no exento de Gödel. Sin embargo, es relativamente bien conocida en comparación con la mayoría de otras áreas de estudio, y de un "típico" (en algún sentido) no demasiado complicada pregunta, empíricamente, una bastante alta probabilidad de ser responsable sin demasiada dificultad.

Answer 4

Yo soy el que respondió diciendo que "a grandes rasgos" (estoy citando a mí ahora) todos estamos totalmente de entender en matemáticas es lineal y que la mayoría de las veces es una práctica común para reconduct objetos matemáticos y problemas matemáticos lineales resolver ellos (yo estaba pensando en Representación Lineal, como el de los usos de las diferencias, la Tangente y la Cotangente Espacios, etc en la Geometría Diferencial, etc...).

Sé que no estoy diciendo nada nuevo aquí. Yo estaba hablando en general, en un sentido amplio, señalando el motivo por el Álgebra Lineal es tan importante y tan involucrado en muchos campos de las matemáticas, de la Representación Lineal, Análisis Funcional, etc..

De todos modos, ya leftaroundabout quiere ser específica y absoluta yo también señalar que la relación "$x=a$", que es algo que todo el mundo entender completamente es una relación lineal y en la mayoría de los casos representa la "solución" del problema. Es la solución significa que no hay más explicación es necesaria, es decir, "completamente entendido". Esto para decir que, de hecho, lo que hemos de entender completamente es lineal.

P. s. por la manera de decir que lo que estamos totalmente de entender es lineal , no es el mismo de decir que estamos totalmente de entender todos los de álgebra lineal , así que no puedo en absoluto la necesidad de traer el Teorema de Gödel en aquí (?) ...

Answer 5

Cuando la gente habla acerca de álgebra lineal ser una base para otras áreas de las matemáticas, que no me refiero a un fundamento lógico. Se refieren a la intuición, los hechos básicos y métodos de prueba constantemente mostrar de nuevo y de nuevo en áreas como el análisis funcional, teoría de campo algebraicas de los grupos, y un bajillion otros lugares.

Teorema de la incompletitud de gödel es irrelevante para la mayoría de los matemáticos. Undecidability no es algo que encuentro muy mucho. Sí, uno puede probablemente encontrar algunas de las declaraciones en álgebra lineal que se indecidible en ZFC. No, probablemente no van a ser muy interesantes declaraciones. Para la mayoría de los mathematicial disciplinas, de las matemáticas aplicadas a la teoría de la representación a la geometría algebraica, la mayoría de los naturales de preguntas van a tener una respuesta que es demostrable en ZFC.