¿Podemos describir muy bien todos los números racionales de la forma$x^{2}-xy+y^{2}$?

Question

Deje $\zeta$ ser una primitiva raíz cúbica de la unidad, es decir, $\zeta$ es un número complejo tal que $\zeta^{3}=1$$\zeta\neq1$.

Vamos a considerar la extensión de Galois $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ (Eisenstein campo) y la norma mapa dada por \begin{equation} N(a+b\zeta)=a^{2}-ab+b^{2}, \end{equation} donde $a$ $b$ son números racionales.

Dado que la norma define un homomorphism en la multiplicación de los grupos de $\mathbb{Q}(\zeta)^{\times}\to\mathbb{Q}^{\times}$, ya sabemos que la imagen sea un multiplicativo subgrupo de $\mathbb{Q}^{\times}$. Podemos describir este grupo bien?

He intentado poner algunos valores y tratando de averiguar la forma de este grupo dentro de $\mathbb{Q}^{\times}$, pero realmente no puedo ver un patrón pasando. Tomando los números primos $p\equiv 2\pmod3$, podemos ver que esta norma mapa no es surjective, pero no conozco el grupo $\mathbb{Q}^{\times}$ muy bien para conocer su estructura de subgrupos.

Me imagino que el Mundial de Campo de la Clase de Teoría da una respuesta a esta pregunta, pero no sé mucho acerca de él.

Gracias por cualquier ayuda o referencias.

Answer 1

La idea es reducir el problema a la aritmética de enteros. Desde $\mathbb Q(\zeta)$ es el campo de fracciones de $\mathbb Z[\zeta]$, podemos escribir $$x+y\zeta = \frac{a+b\zeta}{c+d\zeta}$$ donde$x,y\in\mathbb Q$$a,b,c,d\in \mathbb Z$, y donde el numerador y el denominador del lado derecho son coprime. Aquí estamos usando el hecho de que $\mathbb Q(\zeta)$ tiene clase número $1$.

En particular, $\frac mn\in\mathbb Q^\times$ (escrito en términos mínimos) es una norma de $\mathbb Q(\zeta)^\times$ si y sólo si $m,n$ son las normas de $\mathbb Z[\zeta]$.

Se puede calcular mediante la reciprocidad cuadrática que un primer $p$ es una norma de $\mathbb Z[\zeta]$ si y sólo si $p=3$ o $p\equiv 1 \pmod 3$. De ello se desprende que $$n = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$$ es una norma de $\mathbb Z[\zeta]$ si y sólo si $e_i$ es incluso cuando $p_i\equiv 2\pmod 3$. (Tenga en cuenta que todas las normas son positivos en este caso).

Podemos deducir que la imagen $N(\mathbb Q(\zeta)^\times)$ es el subgrupo de $\mathbb Q^\times$ generado por $$\{p:p\equiv 1\pmod 3\}\cup\{3\}\cup\{p^2 : p\equiv 2\pmod 3\}.$$

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Para ilustrar la dificultad de generalizar esta al $K$ no tiene número de clase $1$ ni $2$ ni $3$ son normas de $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$, pero $$\frac 32 = \frac 64 =N\left(\frac{1+\sqrt{-5}}2\right) .$$

Podemos conseguir alrededor de esto, considerando factorización de ideales. Deje $K$ ser un campo de número, y deje $x\in K^\times$. Escribir $$(x) = \frac{\mathfrak a}{\mathfrak b},$$ donde $\mathfrak{a,b}$ son coprime ideales de $\mathcal O_K$. Desde $\frac{\mathfrak a}{\mathfrak b}$ que es lo principal, tanto en $\mathfrak a$ $\mathfrak b$ se encuentran en la misma clase de los ideales del grupo de clase. En particular, podemos encontrar algunos integral ideal $\mathfrak c$ tal que $\mathfrak{ac}$ $\mathfrak {bc}$ son principales.

Por lo tanto, $$|N(x)| = \frac{N(\mathfrak a)}{N(\mathfrak b)}=\frac{N(\mathfrak {ac})}{N(\mathfrak {bc})}=\frac{|N(a)|}{|N(b)|},$$ for some $a,b\in\mathcal O_K$.

De ello se deduce que la imagen de $|N(K^\times)|\subset \mathbb Q_{>0}^\times$ es generado por los elementos de la $\mathbb Z$ cuales son las normas de $\mathcal O_K$. Debe haber alguna manera de arreglar el problema con los signos.

Answer 2

En el manejo racional de los valores de racional binario cuadráticas formas, creo que es mucho más simple de usar con la Naturaleza de la norma de principio cíclico extensiones en lugar de la de Minkowski-Hasse principio cuadráticas formas sugerido por @Erik Wong (pero, por supuesto, ambos principios vienen de CFT). Todo es conocido " en un buen camino ", según el siguiente proceso :

Diagonalizing la forma cuadrática si es necesario, nos lleva a resolver la ecuación de $a = x^2+ dy^2$ $\mathbf Q$ donde $d$ es un dado cuadrado libre de número racional, o lo que es equivalente a resolver el normic ecuación de $a = N(\alpha)$ donde $N$ denota la norma mapa de$K = \mathbf Q(\sqrt –d) $$\mathbf Q$. La naturaleza del principio que afirma que $a$ es una norma global en $K/\mathbf Q$ fib $a$ es una norma en todos los locales de las extensiones $K_v/\mathbf Q_{p}$ donde $\mathbf Q_{p}$ es el campo de $p$-ádico números (resp. $\mathbf R$) si $p$ es un número finito (resp. el infinito) la primera, y se $K_v$ es la culminación de $K$ en un primer $v$ sobre $p$. La condición local en $v$ es equivalente a $(a, d)_p$ = 1, donde a $(a, d)_p$ es el símbolo de Hilbert en $p$ (que generaliza el símbolo de Legendre), y este último criterio es eficaz en el sentido de que tenemos explícita fórmulas de Hilbert símbolo, y por otra parte tenemos que calcular sólo un número finito de ellos. Todo esto se explica en gran detalle, por ejemplo, en los capítulos II y III de Serre " Un Curso de Aritmética ". Tenga en cuenta que nosotros no necesitamos suponer que el número de clases de K es 1 como en el caso tratado por @Mathmo123.

Yendo un paso más allá, podemos pedir integral de los valores de la integral binario cuadráticas formas, como por ejemplo, en las preguntas publicado por @Henry y @Kieren MacMillan. Este es genuino, la aritmética, la cual necesita CFT sobre el cuadrática campo $K$, y ya no por encima de $\mathbf Q$ solo.. Véase, por ejemplo, D. Cox del libro " los números Primos de la forma $x^2 + ny^2 »$.