¿Existe un nombre para esta estructura algebraica?

Question

Me encontré "naturalmente" con un objeto de esta forma:

X es un espacio vectorial complejo, con un "producto" (a,b) → {aba} que es cuadrático en la primera variable, lineal en la segunda, y satisface algunas condiciones de asociatividad. Estas condiciones son realmente complicadas, pero más o menos dicen que {aba} se parece al producto (aba) en un álgebra alternativa Y que contiene a X como subespacio.

Por ejemplo, la principal "condición de asociatividad" que me interesa es {a{b{aca}b}a}={{aba}c{aba}}

Ejemplos

1. Matrices simétricas
2. Octoniones, o de hecho cualquier álgebra alternativa
3. Dejemos que J pertenezca a GL(n,ℂ), con t J=-J y J²=-Id, y W={w∈M(n×n,ℂ)|J t wJ=-w}

todo con el producto estándar {aba}=aba.

Todos estos ejemplos son álgebras de Jordan, con respecto al producto simetrizado a∘b=½(ab+ba), pero no veo ninguna relación directa entre el producto de Jordan y mi producto.

Answer 1

En un álgebra de Jordan con producto $\cdot$, un triple producto es definido por $$\{abc\}=(a\cdot b)\cdot c+(b\cdot c)\cdot a-(a\cdot c)\cdot b.$$ En un especial de Jordania álgebra (construido por symmetrising asociativa del producto) uno ha $\{aba\}=aba$, y es fácil demostrar que en tales álgebras de uno siempre tiene la identidad de $$\{\{aba\}c\{aba\}\}=\{a\{b\{aca\}b\}a\}.$$ Ahora, hay una asombrosa general del teorema de Macdonald que establece que cualquier identidad en tres variables que es de grado en la mayoría de uno en uno de ellos y que es válido en especial álgebras de Jordan realmente se sostiene en todas las álgebras de Jordan. Esto queda demostrado en Jacobson tomando el aliento de la Estructura y las representaciones de álgebras de Jordan.

Por lo que su identidad se sostiene en todas las álgebras de Jordan. Como consecuencia de ello, a partir de la información que dan es más o menos imposible distinguir su estructura de álgebras de Jordan, por lo que puedo ver.

Por cierto, en su libro, Jacobson notas que McCrimmon ha desarrollado la teoría de álgebras de Jordan basa exclusivamente en la composición de la $(a,b)\mapsto aba$, y da [McCrimmon, Kevin. Una teoría general de Jordania anillos. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 56 1966 1072--1079. MR0202783 (34 #2643)] como referencia. No tengo acceso al papel, aunque. El documento puede ser obtenido a partir de este enlace Andrea siempre en un comentario más abajo.

Answer 2

¿Qué tan difícil / largo sería dar un ejemplo concreto de su producto?