¿Cuál es el menor número de parámetros (fijos) que puedo pedir al calcular el área de un triángulo de tipo desconocido?

Question

Necesito calcular el área de un triángulo, pero no sé si es de ángulo recto, isoscele o equilátero.

¿Qué parámetros necesito para calcular el área de un triángulo de tipo desconocido?

Answer 1

Todo lo que necesita es la longitud de cada lado del triángulo.

Por la Fórmula de Herón, sabemos que es un triángulo con lados de $a,b,c$, tenemos

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\text{ ,where }s=\frac{a+b+c}2$$

Referencia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula

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EDITAR:

En respuesta a la sugerencia de @Hurkyl , añado ahora el caso de ASA y de la SsA.

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(ASA)

Con un lado de la $c$, y sus vecinos los ángulos $\alpha,\beta$, tenemos:

$$A=\frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin{(\alpha+\beta)}}$$

Prueba:

Deje $\alpha,\beta,\theta$ ser los correspondientes ángulos de lados $a,b,c$ respectivamente, tenemos

$$\theta=\pi-\alpha-\beta\implies\sin\theta=\sin{(\pi-\alpha-\beta)}=\sin{(\alpha+\beta)}$$

Por Sinusoidal De La Ley,

$$\frac c{{\sin{(\pi-\alpha-\beta)}}}=\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}$$

Así $a=\frac{c\sin\alpha}{\sin{(\alpha+\beta)}}$, $b=\frac{c\sin\beta}{\sin{(\alpha+\beta)}}$

Por lo tanto,

\begin{align} A&=\frac12ab\sin\theta\\&=\frac12\cdot{\frac{c\sin\alpha}{\sin{(\alpha+\beta)}}}\cdot\frac{c\sin\beta}{\sin{(\alpha+\beta)}}\cdot\sin{(\alpha+\beta)}\\&=\frac{c^2\sin\alpha\sin\beta}{2\sin{(\alpha+\beta)}} \end{align}

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(SsA)

Con 2 conocido lados $b,c$$\beta$, el correspondiente ángulo de $b$, tenemos:

$$A=\frac12 c\sin\beta[\sqrt{1-(\frac{c\sin\beta}b)^2}+c\cos\beta]$$

Prueba:

Por Sinusoidal De La Ley:

$$\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\theta}$$

$$\sin\theta=\frac{c\sin\beta}b, \cos\theta=\sqrt{1-(\frac{c\sin\beta}b)^2}$$

Por El Coseno De La Ley,

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$$ $$c^2-b^2+b^2\cos^2\theta=a^2-2ab\cos\theta+b^2\cos^2\theta$$ $$c^2-b^2\sin^2\theta=(a-b\cos\theta)^2$$ $$a=b\cos\theta+\sqrt{c^2-b^2\sin^2\theta}=b\cos\theta+c\cos\beta$$

Así \begin{align} A&=\frac12ab\sin\theta\\&=\frac12(b\cos\theta+c\cos\beta)(b)\cdot\frac{c\sin\beta}b\\&=\frac12 c\sin\beta[\sqrt{1-(\frac{c\sin\beta}b)^2}+c\cos\beta] \end{align}

Answer 2

El área de un triángulo también se puede calcular como$\frac12 rp$, donde$r$ es el radio del incircle y$p$ es el perímetro.

Answer 3

Hay otra fórmula general para el área de un triángulo:$A=\frac{1}{2}ab\sin\theta$ donde$\theta$ es el ángulo delimitado por los lados de longitud$a$ y$b$. Esto es simplemente una generalización de$A=\frac{1}{2}bh$ cuando el concepto de altura no corresponde a un lado del triángulo.

Answer 4

Hay un montón de respuestas a esta pregunta--all* de ellos, estarán a sabiendas de 3 parámetros sobre el triángulo; la fórmula que utilice dependerá del 3 de saber.

Hasta ahora hemos visto la fórmula de Heron si usted sabe que tres de sus lados y la ley de los cosenos enfoque si se conocen dos lados y un ángulo (tenga en cuenta que también subsume la fórmula de un triángulo rectángulo).

Voy a añadir el cordón de la fórmula si usted sabe las coordenadas $(x_i,y_i), i=1,\ldots,3$ de los vértices:

$$\frac{1}{2}|x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1-y_1x_2-y_2x_3-y_3x_1|$$

*no exactamente, véase el comentario de abajo

Answer 5

1. Si todos los lados dicen que$a$,$b$ &$c$ de un triángulo son conocidos, entonces el área del triángulo se calcula de la siguiente manera$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ Where, $ s = \ frac {a + b + c} {2} = \ text {semi perimeter} $

2. Si conocemos dos lados y el ángulo incluido entre ellos, entonces el área del triángulo se da de la siguiente manera$$A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$ $