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Si a,b,c,a2+b2+c2 son primos, entonces a o b o c es igual a 3

Dado los números primos a,b,c tal que a2+b2+c2 es primo, entonces 3{a,b,c}.

Probado para a,b,c<500.

11voto

Si p3, p un número primo, entonces p^2\equiv1\pmod3. Así que si 3\notin\{a,b,c\}3\mid a^2+b^2+c^2.

1voto

Jaideep Khare Puntos 168

Si p\ge 5 es una de las principales, es siempre de la forma 6n\pm 1 ~, n \ge 1.

Deje a,b,c ser primos \ge 5. A continuación, hemos ;

(6n_1\pm 1)^2+(6n_2 \pm 1)^2+(6n_2 \pm 1)^2 = \text{prime}

36(n_1^2+n_2^2+n_3^2)+12(\pm n_1\pm n_2 \pm n_3)+3 =\text{prime}

Pero en la ecuación anterior, LHS es claramente divisible por 3 y, por tanto, no de una prima. Por lo tanto, nuestra hipótesis era falsa. Al menos uno de a,b,c es igual a 3. También, cualquiera de a,b c puede no ser 2 debido a que se llevará la suma de a^2+b^2+c^2 a ser incluso.

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