Si $a,b,c,a^2+b^2+c^2$ son primos, entonces $a$ o $b$ o $c$ es igual a $3$

Question

Dado los números primos $a,b,c$ tal que $a^2+b^2+c^2$ es primo, entonces $3\in\{a,b,c\}$.

Probado para $a,b,c<500$.

Answer 1

Si $p\neq3$, $p$ un número primo, entonces $p^2\equiv1\pmod3$. Así que si $3\notin\{a,b,c\}$$3\mid a^2+b^2+c^2$.

Answer 2

Si $p\ge 5$ es una de las principales, es siempre de la forma $6n\pm 1 ~, n \ge 1$.

Deje $a,b,c$ ser primos $\ge 5$. A continuación, hemos ;

$$(6n_1\pm 1)^2+(6n_2 \pm 1)^2+(6n_2 \pm 1)^2 = \text{prime}$$

$$36(n_1^2+n_2^2+n_3^2)+12(\pm n_1\pm n_2 \pm n_3)+3 =\text{prime}$$

Pero en la ecuación anterior, LHS es claramente divisible por $3$ y, por tanto, no de una prima. Por lo tanto, nuestra hipótesis era falsa. Al menos uno de $a,b,c$ es igual a $3$. También, cualquiera de $a,b$ $c$ puede no ser $2$ debido a que se llevará la suma de $a^2+b^2+c^2$ a ser incluso.