Cómo probar que: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-1}dx$ diverge?

Question

Tengo esta integral

$$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-1}dx$$

Sé que diverge, pero no sé cómo demostrarlo. No hemos aprendido hiperbólicas funciones trigonométricas así que yo sé que esto está relacionado con la tangente hiperbólica inversa, pero estoy buscando otro enfoque que no se basa en que el conocimiento.

Answer 1

Parcial fracciones para el seguro (y de los registros de surgirán), y considerar las dos integrales impropias $$ \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2-1} \, dx \ \text{ con } \int_0^1 \frac{1}{x^2-1} \ dx. $$

Usted necesita converger para su integral converge. Llevar en...

Answer 2

Tenga en cuenta que para $x\in (-1,1)$, $$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}\leq \frac{1}{(-2)(x+1)}.$$ Por lo tanto $$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2-1}dx\leq -\frac{1}{2}\int_{-1}^{1} \frac{1}{x+1}dx=-\left[\frac{\ln(x+1)}{2}\right]_{-1}^1=-\infty.$$

Answer 3

He aquí una forma menos ortodoxa respuesta. En cuenta sólo el intervalo de $[0, 1)$, y se divide en intervalos de $[0, 1/2), [1/2, 2/3), \ldots, [1 - \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n+1}), \ldots$, cada uno de ancho $\frac{1}{n(n+1)}$. El valor de $\frac{1}{1-x^2}$$x = 1 - \frac{1}{n}$$\frac{n^2}{2n-1}$. Multiplicando las anchuras por los valores de la función da una menor suma de Riemann $$\int_0^1 \frac{dx}{1-x^2} > \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(n+1) (2n-1)}$$ que diverge como la serie armónica.

Answer 4

Primero de todo, ya que la integral es impropia tanto en $x=-1$ y a las $x=1$, usted debe dividir: $$ \int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2-1} = \int_{-1}^0 \frac{dx}{x^2-1} + \int_0^1 \frac{dx}{x^2-1} = \lim_{un \a -1} \int_a^0 \frac{dx}{x^2-1} + \lim_{b \1} \int_0^b \frac{dx}{x^2-1}. $$ Considerar la última integral, que escribo como $$ - \int_0^b \frac{dx}{1-x^2} = -\int_0^b \frac{dx}{(1-x)(1+x)}. $$ Observar que, para $0<x<b$, $1+x<1+b<1+1=2$. Por lo tanto $$ \int_{0}^b \frac{dx}{(1+x)(1-x)} > \frac{1}{2} \int_0^b \frac{dx}{1-x} = \frac{1}{2} \left[ -\log |1-x| \right]_0^b $$ Ahora, vamos a $b \to 1$, y deducir que $$ \lim_{b \1} \int_0^b \frac{dx}{(1+x)(1-x)} = +\infty. $$ Por lo tanto la integral impropia diverge.

Answer 5

Hin: En el intervalo de $[0,1),$

$$\frac{1}{x^2-1}\le \frac{1}{2}\frac{1}{x-1}.$$

Si la integral del lado derecho por encima de $[0,1)$$-\infty,$, lo mismo es cierto para el lado izquierdo.