Interpretación del tensor de tensión-energía y del polvo

Question

MTW (capítulo 5) y otros afirman que $-T^a_b v^b $ debe interpretarse como la densidad de cuatro momentos en el marco de referencia de un observador con cuatro velocidades $v^a$ , donde $T^a_b$ es el tensor de tensión-energía. Esto tiene sentido como una máquina útil que nos gustaría tener.

Bien, el primer caso de prueba más simple: Tomar la energía de tensión del polvo en coordenadas donde está en reposo, de manera que $T^{ab} = \rho u^a u^b $ con $u^a = (1,0,0,0)$ . Ahora viene un observador con cuatro velocidades $v^a = (\gamma, 0,0,v \gamma) $ . Desde $u_a v^a = - \gamma$ la densidad del cuatrimomento en el marco del observador se supone que es $(\gamma \rho,0,0,0)$ ? ¿Qué ha pasado con el momento del polvo en el marco del observador? Debería ver las partículas de polvo pasando a toda velocidad, ¿no?

Debo estar perdiendo algo extremadamente básico para que esto me moleste tanto. ¿Pero qué?

Answer 1

Estás calculando el momento en el marco de reposo del polvo. En el marco de reposo del observador tenemos $v^a = (1,0,0,0)$ y $u^a = (\gamma,0,0,-v\gamma)$ para que $-T^a{}_bv^a = \rho\gamma^2(1,0,0,-v)$ . Nótese que esta, por supuesto, es la misma expresión que obtendríamos si transformáramos su resultado al marco de reposo del observador.

En otras palabras, la afirmación correcta es que $-T^a{}_bv^b$ es el 4-momento observado por el observador, expresado en cualquier marco que utilicemos para nuestros cálculos .