Utilizando la misma técnica como aquí.
Deje f(z)=sin(x)⋯sin(2k−1x)eix2kzk+1
Entonces
0=∮Cf(z)dz
donde C es el clásico semicircular contorno contorno de sangría en torno a z=0. Como el radio aumenta, el integrando tiende a cero alrededor de ese arco, ya que como en el post vinculado, la exponencial de la orden de 2k es mayor que la exponencial de la orden de todos los sinusoides ∑k−1n=02n=2k−1, por lo que el término exponencial domina todos los sinusoides y las causas de decaimiento exponencial; por otra parte, el denominador crece como Rk+1e(k+1)iθ.
Por otro lado, hacer la sangría más pequeños sólo añade una contribución de πiResz=0f(z). Entonces:
P.V.∫Rf(z)dz=πiResz=0f(z)
Tenemos un sencillo polo desde sinz∼zz=0.
Resz=0f(z)=lim
Ahora podemos tomar la parte imaginaria de la integral anterior:
I=\int_0^\infty \frac{\sin(x)\cdots\sin(2^{k-1}x)\sin(2^k x)}{x^{k+1}}\,dx=\frac{1}{2}\Im\left(\pi i\operatorname{Res}_{z=0}f(z)\right) \\
=\pi 2^{(k^2-k-2)/2}
y confirmar la hipótesis.