La normalización de un semi-normalizado base de Schauder

Question

Aquí hay algo que es probablemente obvio, pero me parece que no puede ver.

Supongamos $(x_n)_{n=1}^\infty$ es una base de Schauder para un espacio de Banach $X$, "seminormalized" en el sentido de que tenemos $$0<\inf\|x_n\|\leq\sup\|x_n\|<\infty.$$ Ahora, considere el correspondiente normalizado de la base formada por la configuración de $$y_n=\frac{x_n}{\|x_n\|},\quad n\in\mathbb{N}.$$

Recordemos que dos bases de Schauder $(x_n)_{n=1}^\infty$ $(y_n)_{n=1}^\infty$ se dice que son equivalentes siempre que hay una constante $C\in[1,\infty)$ la satisfacción de la propiedad $$C^{-1}\left\|\sum_{n=1}^\infty a_ny_n\right\| \leq \left\|\sum_{n=1}^\infty a_nx_n\right\| \leq C\left\|\sum_{n=1}^\infty a_ny_n\right\| \qquad \forall\,(a_n)_{n=1}^\infty\in c_{00},$$ donde $c_{00}$ denota el espacio de todos los escalares secuencias con un número finito distinto de cero entradas.

Pregunta #1. Es $(x_n)_{n=1}^\infty$ siempre equivalente a $(y_n)_{n=1}^\infty$?

El principio de las pequeñas perturbaciones garantías que tienen equivalente básicos de subsecuencias, pero esto no es suficiente. Quiero el original bases de sí mismos para que sean equivalentes.

También es fácil ver que son equivalentes cuando son incondicionales. Sin embargo, de nuevo, esto no es suficiente para mí. Quiero equivalencia a ser garantizado incluso cuando las bases son condicionales.

Si la respuesta a la Pregunta #1 es negativa, entonces:

Pregunta #2. ¿Qué es un contador específico-por ejemplo, para la pregunta #1? En otras palabras, podemos dar un ejemplo de una seminormalized base $(x_n)_{n=1}^\infty$ que es no equivalente a su normalizado homólogo $(y_n)_{n=1}^\infty$?

Answer 1

Considerar el espacio de Banach $c$ de secuencias convergentes $\mathbb N\to\mathbb R$ con sup norma. Esto tiene un poco convencional normalizado de la base de Schauder $(y_n)_{n\geq 1}$ definido por

$$y_n(m)=\begin{cases}1&\text{ if $m\geq n,$}\\0&\text{ otherwise.}\end{cases}$$

Deje $x_n=\tfrac1{w_n}y_n$ donde $w_n=1$ por extraño $n,$ $w_n=2$ incluso $n.$ El elemento $a=(0,\tfrac 32,\tfrac 23,\tfrac 54,\dots)$ definido por $a_n=1+(-1)^n/n$ puede ser escrito como una serie de

$$a = \sum_{n\geq 2} (-1)^n(\tfrac 1 n + \tfrac 1 {n-1})y_n = \sum_{n\geq 2} (-1)^n(\tfrac 1 n + \tfrac 1 {n-1})w_nx_n$$

Pero la serie

$$\sum_{n\geq 2} (-1)^n(\tfrac 1 n + \tfrac 1 {n-1})w_ny_n$$

no convergen en $c$:$a$, además de una especie de serie armónica.

Todo esto que realmente se necesita es una serie cuyo finito (reorganizar) las sumas son ilimitados. A continuación, podemos amplificar un distinto conjunto finito de índices cuyas sumas normas tiende a infinito. Hay condicionalmente convergente la serie cuyo finito de sumas son acotados.