Abelianisation de un anillo de división

Question

Estaba leyendo un documento recientemente sobre un no-conmutativa de la versión de la matriz de determinante. En la tercera página, se indicó en un hecho sin proporcionar una prueba o una referencia:

Si $D$ es un anillo de división, vamos a $D^\times$ ser su grupo multiplicativo, entonces el abelianisation de $D^\times$, $\frac{D^\times}{[D^\times,D^\times]}$, es isomorfo a $Z(D)^\times$ - el centro de $D^\times$.

Este resultado no se parece en absoluto trivial, aunque por supuesto se cumple para cualquier conmutativa de campo. Me había considerado que tal vez el natural mapa de $Z(D)^\times\to \frac{D^\times}{[D^\times,D^\times]},c\mapsto c [D^\times,D^\times]$ podría ser demostrado ser un isomorfismo. Pero yo no veo ninguna razón por la que este debe ser el caso.

Este resultado es realmente cierto? Si es así, ¿alguien tiene alguna idea de por qué? Es el mapa de un isomorfismo, o hay algún otro no canónica de isomorfismo? De lo contrario, puede alguien pensar que de un contraejemplo?

Answer 1

Este parece ser falsa.

Un contra-ejemplo sería el de la división de álgebra $Q_\mathbb{R}$ real de cuaterniones. El centro de $Q_\mathbb{R}$ es el campo de los números reales $\mathbb{R}$, y la derivada de grupo $[Q_\mathbb{R}^\times, Q_\mathbb{R}^\times]$ es el grupo de elementos de la $w=a+bi+cj+dk$ $n(w):=a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ (una prueba de esto se puede encontrar aquí). Desde $n$ es multiplicativo, obtenemos que $$ Q_\mathbb{R}^\times/[Q_\mathbb{R}^\times, Q_\mathbb{R}^\] \cong \mathbb{R}^\times_{>0}. $$

Este isomorfismo es demostrado en la página 12 de este Intelligencer artículo de Helmer Aslaksen (gracias a @rschwieb para señalar esta referencia).

Sin embargo, $Z(Q_\mathbb{R})^\times = \mathbb{R}^\times$. Pero $\mathbb{R}^\times$ no es isomorfo a $\mathbb{R}^\times_{>0}$ (el primero contiene dos elementos que son de su propia inversos, y el segundo sólo uno).

Por lo tanto, $Q_\mathbb{R}^\times/[Q_\mathbb{R}^\times, Q_\mathbb{R}^\times]$ no es isomorfo a $Z(Q_\mathbb{R})^\times$.