Me ayudan a demostrar $\pi^{e}<23<e^{\pi}$.

Question

Soy un estudiante de la escuela secundaria.
Me ayudan a demostrar $\pi^{e}<23<e^{\pi}$.
En primer lugar, he probado demostrando $\frac{\log \pi}{\pi}<\frac{\log 23}{\pi e}<\frac{\log e}{e}$. Sin embargo, no fue capaz de demostrar la magnitud de la relación entre el$23$, y la de los demás.
Segundo, yo attemted al enfoque por cuadrático de la curva de a $x=3$.
$e^{x}=e^{3}+e^{3}(x-3)+\frac{1}{2}e^{3}(x-3)^2$.
Y la tercera derivada de $e^{x}$ es positivo.Así,
$e^{\pi}>\frac{1}{2}e^{3}(\pi^{2}-4\pi +5)> \frac{1}{2}*2.717^{3}(3.14159^{2}-4*3.1416+5)>23$
Esto es cómo puedo probar el supremum de la desigualdad, pero no puedo el otro. Terminé aquí metido.

Moveover, estoy yendo tan lejos como para creer que hay un más hermoso, simple, concisa y prueba de esto...

Answer 1

Para la primera parte utilizamos $\pi<{22\over7}$. Además, el teorema en la alternancia de la serie da $${1\over e}>1-1+{1\over2}-{1\over6}+{1\over24}-{1\over120}={44\over120}={11\over30}\ .$$ De ello se desprende que $$\pi^e<\left({22\over7}\right)^{30/11}\ .$$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$22^{30}<7^{30}\cdot 23^{11}\ .$$ Aquí la PREPA se calcula a $$18\,736\,153\,019\,903\,829\,443\,036\,278\,993\,864\,332\,673\,024\ ,$$ y la RHS a $$21\,475\,703\,365\,914\,111\,444\,329\,770\,286\,387\,088\,568\,823\ .$$

Answer 2

Tanto en $\pi\approx\frac{22}{7}$ $e\approx\frac{19}{7}$ puede ser demostrado a través de la Beuker-como las integrales:

$$ \underbrace{\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx}_{\in\left(0,\frac{1}{256}\right)}=\frac{22}{7}-\pi,\qquad \underbrace{\int_{0}^{1}x^2(1-x)^2 e^{-x}\,dx}_{\in\left(0,\frac{1}{16}\right)}=14-\frac{38}{e} $$

y $\pi^e < e^\pi$ es trivial a partir de la creciente naturaleza de la $\frac{x}{\log x}$$[e,+\infty)$.
$\pi^e<23$ es en realidad un suelto de la desigualdad, ya que $\left(\frac{22}{7}\right)^{19}\ll 23^7$.
$23<e^\pi$ es un poco más ajustado, ya que $23^7\approx 3.4\cdot 10^9$ mientras $\left(\frac{19}{7}\right)^{22}\approx 3.47\cdot 10^9$.
Todavía, $\pi^e<23<e^\pi$ es bastante sencillo demostrar mediante la aproximación de ambos $e$ $\pi$ en séptimos.