Ecuación de 45 grados de Adriaan van Roomen en 1593

Question

Adriaan van Roomen propuso una ecuación de 45 grados en 1593 (véase este libro (la referencia de la imagen es la siguiente): $$ \begin{gathered} f(x) = x^{45} - 45x^{43} + 945x^{41} - 12300x^{39} + 111150x^{37} - \color{red}{740459}x^{35} + 3764565x^{33} \\- 14945040x^{31} + 46955700x^{29} - 117679100x^{27} + 236030652x^{25} - 378658800x^{23} \\+ 483841800x^{21} - 488494125x^{19} + 384942375x^{17} - 232676280x^{15} + 105306075x^{13} \\ - \color{red}{34512074}x^{11} + 7811375x^9 - 1138500x^7 + 95634x^5 - 3795x^3 +45x \\ = \sqrt{\frac{7}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}- \sqrt{\frac{15-3\sqrt{5}}{8}}} \approx 0.4158234. \end{gathered}\tag{1} $$ Otra fuente dijo que el lado derecho es: $\sqrt{\frac{7}{4}-\frac{\sqrt{5}}{4}-\frac{5\sqrt{3}}{8}} $ . ( EDITAR : Según la respuesta, los coeficientes en rojo son erróneos).

Otro matemático, Viète, se dio cuenta de que el lado izquierdo no es más que la expansión del seno mediante $$ \sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta, $$ recursivamente, y la ecuación (1) se reduce a: $$ \sin(\alpha) = c, \quad \text{ for } \alpha \in (0,\frac{\pi}{2}) \tag{2} $$ donde $x = \sin(\alpha/45)$ ( EDITAR : Según la respuesta, esto no es correcto, debería ser $x = 2\sin(\alpha/45)$ ).

Ahora $2k\pi+\alpha$ también satisface (2), por lo que las soluciones son: $$ x = \sin\left(\frac{\alpha + 2k\pi}{45}\right), \quad \text{ for } k = 0,1,2,\ldots,44. $$ Totalmente 45 raíces en $(-1,1)$ .

Sin embargo, al dibujar el gráfico de $f(x)-c$ algo no parece estar bien:

Hay otras dos raíces cerca de aproximadamente 3 y -3? ¿Me he perdido algo?

Answer 1

¡Tipos! Desplácese hasta el final para ver qué coeficientes son errores tipográficos.

$$\begin{align} \sin(45t)&=\Im\left(e^{45it}\right)\\ &=\Im\left(\left(e^{it}\right)^{45}\right)\\ &=\Im\left(\left(\cos(t)+i\sin(t)\right)^{45}\right)\\ &=\Im\left(\sum_{k=0}^{45}\binom{45}{k}\left(i\sin(t)\right)^k\cos^{45-k}(t)\right)\\ &=\frac{1}{i}\left(\sum_{k=0}^{22}\binom{45}{2k+1}\left(i\sin(t)\right)^{2k+1}\cos^{44-2k}(t)\right)\\ &=\sum_{k=0}^{22}\binom{45}{2k+1}(-1)^k\sin^{2k+1}(t)\cos^{44-2k}(t)\\ &=\sum_{k=0}^{22}\binom{45}{2k+1}(-1)^k\sin^{2k+1}(t)\left(1-\sin^2(t)\right)^{22-k}\\ &=\sum_{k=0}^{22}\binom{45}{2k+1}(-1)^k\sin^{2k+1}(t)\sum_{j=0}^{22-k}\binom{22-k}{j}(-1)^j\sin^{2j}(t)\\ &=\sum_{k=0}^{22}\sum_{j=0}^{22-k}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j}(-1)^{j+k}\sin^{2k+2j+1}(t)\\ &=\sum_{k=0}^{22}\sum_{j=k}^{22}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j-k}(-1)^{j}\sin^{2j+1}(t)\\ &=\sum_{j=0}^{22}\sum_{k=0}^{j}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j-k}(-1)^{j}\sin^{2j+1}(t)\\ &=\sum_{j=0}^{22}(-1)^{j}\left[\sum_{k=0}^{j}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j-k}\right]\sin^{2j+1}(t)\\ &=\sum_{j=0}^{22}(-1)^{j}\left[\sum_{k=0}^{j}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j-k}\right]x^{2j+1}\\ &=45x+\cdots+17592186044415x^{45} \end{align}$$

Pero ahora si sustituimos $x$ por $\frac{x}{2}$ y multiplicar todo por $2$ tenemos

$$ \sum_{j=0}^{22}\left(\frac{-1}{4}\right)^{j}\left[\sum_{k=0}^{j}\binom{45}{2k+1}\binom{22-k}{j-k}\right]x^{2j+1} $$ que se expande como $$ \begin{gathered} f(x) = x^{45} - 45x^{43} + 945x^{41} - 12300x^{39} + 111150x^{37} - 740\mathbf{2}59x^{35} + 3764565x^{33} \\- 14945040x^{31} + 46955700x^{29} - 117679100x^{27} + 236030652x^{25} - 378658800x^{23} \\+ 483841800x^{21} - 488494125x^{19} + 384942375x^{17} - 232676280x^{15} + 105306075x^{13} \\ - 3451207\mathbf{5}x^{11} + 7811375x^9 - 1138500x^7 + 95634x^5 - 3795x^3 +45x \\ \end{gathered} $$ y los coeficientes de $x^{35}$ y de $x^{11}$ son errores tipográficos.

Tenga en cuenta que $x=2\sin(\alpha/45)$ es la sustitución, no $x=\sin(\alpha/45)$ y que multiplicamos por $2$ , por lo que se duplica el valor de $c$ .

Answer 2

El trabajo de detective para esto, matemático y textual, puede ser digno de ser registrado.

El razonamiento matemático de la pregunta es correcto, por lo que la única posibilidad de no tener las raíces indicadas es que el polinomio estuviera mal. Y si fuera incorrecto, esto implicaría probablemente algún error en los términos medios, que para $|x|<1$ sería indetectable a partir de un gráfico, pero donde el error puede llegar a ser significativo fuera de $(-1,1)$ . Se sospecha de un error tipográfico, como se sugirió en los comentarios debajo de la pregunta y se confirmó al recalcular el polinomio en la respuesta de alex.jordan.

El polinomio de la pregunta no es el que tiene $\sin (45 \alpha)$ calculado a partir de $x=\sin (\alpha)$ . Ese no es mónico y tiene un coeficiente principal de $2^{44}$ . La vista previa en línea no muestra la ecuación (página 46), pero una búsqueda de "van Roomen" dentro del libro muestra (notas, p. 186) que $x$ en el polinomio es $2 \sin \alpha$ y a partir de ahí y de la discusión que hay se puede ver que el polinomio mostrado calcula $2 \sin 45 \alpha$ de $x$ . Este polinomio tiene una expresión

$P_{45}(x) = 2 \sin (45 \arcsin \frac{x}{2})$

que puede ampliarse mediante programas informáticos

http://www.wolframalpha.com/input/?i=2+sin(45+arcsin+(x/2)))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=FunctionExpand(2+Sin(45+ArcSin(x/2))))

$P_{45}(x) $ = x^45-45 x^43+945 x^41-12300 x^39+111150 x^37- 740259 x^35 +3764565 x^33-14945040 x^31+46955700 x^29-117679100 x^27+236030652 x^25-378658800 x^23+483841800 x^21-488494125 x^19+384942375 x^17-232676280 x^15+105306075 x^13- 34512075 x^11 +7811375 x^9-1138500 x^7+95634 x^5-3795 x^3+45 x .

El polinomio de la pregunta difiere de éste por $-200 x^{35} + x^{11}$ . La discrepancia es $-199$ en $x=1$ y $+199$ en $x=-1$ como se ve en el primer gráfico. La segunda gráfica es una forma del fenómeno de Runge; el polinomio erróneo puede verse como un polinomio interpolante de alto grado de una función (la discrepancia) que está cerca de cero en la mayor parte del intervalo $(-1,1)$ y se muestrea en puntos donde es pequeño, pero el interpolante tiene oscilaciones bruscas en los puntos finales.

El polinomio es correcto en las referencias originales

van Roomen (1593, http://books.google.com/books?id=YyA8AAAAcAAJ (fin del Prefatorio)

Viete (1595 , http://books.google.com/books?id=XxQ8AAAAcAAJ )

y en la discusión modernizada en

Tignol (2001, http://books.google.com/books?id=hO6HYckIYxsC&pg=PA30 )

El error está en los coeficientes situados simétricamente $x^{35}$ y $x^{11}$ lo que sugiere la posibilidad de un error sistemático, como la copia incorrecta de un coeficiente binomial utilizado en una fórmula. No es fácil detectar tal error. La expresión de $P_{45}(x)$ como un polinomio de Chebyshev o Dickson (dado en el libro de Tignol, o en Wikipedia como $D_{45}(\cdot, -1)$ ) utiliza coeficientes binomiales multiplicados por factores racionales, $\frac{n}{n-p} {{n - p} \choose p} x^{n-2p}$ que en los valores necesarios de $n$ y $p$ crearía números no enteros para cualquier error en el coeficiente binomial y lo mismo a partir de cualquier pequeño cambio en el factor. La suma en la respuesta de alex.jordan no parece que cualquier pequeña modificación pueda causar el error de $200x^{35}$ .

El libro de Pesic (página 186) cita un artículo anterior

Guido Vetter, "Sobre la ecuación del cuadragésimo quinto grado de Adriaan van Roomen", Bulletin des sciences mathematiques (2) 54, 277-283 (1954)

que sería el primer lugar donde mirar para ver si el error es nuevo o copiado.

El popular libro de Eli Maor Delicias trigonométricas evita todo el problema al enumerar sólo los primeros y últimos coeficientes del polinomio y un " ... " en medio, de acuerdo con el primer principio de la edición de divulgación científica: toda fórmula matemática de aspecto aterrador reducirá las ventas a la mitad.