¿Por qué es esta suma bien definida?

Question

Vamos $$S=\mathbb{N}[1/2]$$ be the set of rational numbers greater than $0$ which has a power of $2$ as its denominator. Let $R$ be any commutative ring. Let us consider $R^S,$ the infinite direct product. It is clear that we can write the elements as $\sum_{s\in S } a_s x_s$ with $a_s \en R.$ Consider the $R$-submodule $M$ which isformed by the elements $\sum a_s x_s$ que satisfacen la siguiente propiedad:

(*) Para cada número real $r >0,$ hay un $\epsilon >0 $ tal que $a_s = 0$ si $r-\epsilon \leq s <r.$

Vamos ahora a $\alpha = \sum a_s x_s$ $\beta = \sum b_s x_s$ dos elementos de $M.$ quiero mostrar que (*) implica que para cualquier $s \in S$ los productos $$a_{s'}b_{s''}$$ with $s'+s"=s$ son casi todos de cero.

¿Alguien tiene una corta prueba de este hecho?

Answer 1

Suponga que hay una infinidad de $s',s''$$s'+s''=s$$a_{s'}\ne 0$$b_{s''}\ne 0$. Podemos elegir un monótona secuencia de la serie de tales $s'$. Si esta secuencia es estrictamente creciente, se obtiene una contradicción (*) si dejamos $r$ ser el límite/supremum de esta secuencia. Por otro lado, si la sucesión es estrictamente decreciente, obtenemos un correspondiente aumento de la secuencia de $s''$ y de nuevo una contradicción (*).