¿Por qué es la delta de Kronecker una base para la doble espacio vectorial?

Question

La delta de Kronecker puede ser definida de la siguiente forma:

$\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{if } i = j \\ 0, & \text{if } i \ne j \end{casos}$

El espacio dual es un espacio vectorial $V^*$, que se puede definir para cualquier $\mathbb{K}-$espacio vectorial $V$. Sus elementos son transformaciones lineales $\Phi: V \rightarrow \mathbb{K}$.

De acuerdo a mi script y Wikipedia una base para el espacio dual puede encontrar con bastante facilidad. Si $X = \{x_i\}_{i = 1, 2, ..., n}$ es una base de V, entonces $X^* = \{x_i^*\}_{i = 1, 2, ...,n}$$x_i^*(x_j) = \delta_{ij}$.

Ahora elegí el $\mathbb{R}^1$-espacio vectorial con $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ para obtener un ejemplo muy sencillo. A continuación, $X = \{1\}$ $X^* = \{x_1^*\}$ $x_1^* (x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x = 1 \\ 0, & \text{if } x \neq 1 \end{casos}$. So this should be a base for some linear transformations. But all linear transformations $\Phi : V \rightarrow W$ tienen que cumplir dos condiciones:

1. $\forall x, y \in V: \Phi(x+y) = \Phi(x) + \Phi(y)$
2. $\forall a \in \mathbb{K}: \forall x \in V: \Phi(a \cdot x) = a \cdot \Phi(x)$

Pero $x_1^*(1 + -1) = x_1^*(0) = 0 \neq 1 = 1 + 0 = x_1^*(1) + x_1^*(-1)$. Por lo $x_i^*$ ningún elemento de la doble espacio, pero su base?!? Puede usted por favor decirme donde tengo algo mal?

Answer 1

Recuerda que si $\mathbf{V},\mathbf{W}$ son espacios vectoriales, $\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n$ es una base, y $f\colon\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}\to \mathbf{W}$ es cualquier función, $f$ únicamente determina lineal tranformation $T\colon\mathbf{V}\to\mathbf{W}$ tal que $T(\mathbf{v}_i) = f(\mathbf{v}_i)$. Es decir: podemos definir una transformación lineal mediante la especificación de lo que hace a una base, y luego "se extiende linealmente"; la definición de $T$ es que, dado cualquier $\mathbf{v}\in \mathbf{V}$, expresamos $\mathbf{v}$ en términos de la base, $$\mathbf{v} = \alpha_1\mathbf{v}_1+\cdots+\alpha_n\mathbf{v}_n$$ y, a continuación, vamos a $$T(\mathbf{v}) = \alpha_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+\alpha_nf(\mathbf{v}_n).$$

En la definición que le dan, estamos especificando la función de $x_i^*$ por decir lo que se hace en base a $\{x_1,\ldots,x_n\}$. La real función será dada por la linealidad.

Por lo tanto, dado un elemento $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$, la manera de computar $x_i^*(\mathbf{v})$ es de la siguiente manera:

1. En primer lugar, expresar $\mathbf{v}$ en términos de la base $x_1,\ldots,x_n$: $\mathbf{v}=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_nx_n$ para algunos (se determina únicamente) escalares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$.

2. A continuación, calculamos el $x_i^*$ $\mathbf{v}$ por la regla: $$x_i^*(\mathbf{v}) = \alpha_1x_i^*(x_1)+\alpha_2x_i^*(x_2)+\cdots + \alpha_nx_i^*(x_n).$$

Esto nos da: $$x_i^*(\mathbf{v}) = \alpha_1\delta_{i1} + \alpha_2\delta_{i2}+\cdots+\alpha_n\delta_{in} = \alpha_i.$$

(En su lugar, usted parece pensar que la manera de calcular es mediante la toma de $x_i^*(\mathbf{v})$, y el valor de $1$ si $\mathbf{v}=x_i$ $0$ si $\mathbf{v}\neq x_i$. Usted está absolutamente en lo correcto de que tal función no es lineal, ni mucho menos un funcional lineal, pero por suerte que no la definición de $x_i^*$...)

En el caso de $V=\mathbb{R}$$x_1 = 1$, el funcional $x_1^*$ está totalmente determinado por su valor en$1$,$1$. Sin embargo, la propia definición de la función como una transformación lineal es:

Dado $\alpha\in\mathbb{R}$, escribir $\alpha$ como una combinación lineal de $x_1$, $\alpha = \alpha x_1$. A continuación,$x_1^*(\alpha) = \alpha x_1^*(1) = \alpha$.

Por lo que su cálculo es incorrecta: $$x_1^*(1+(-1)) = x_1^*(0) = x_1^*(0\cdot x_1) = 0x_1^*(x_1) = 0(1) = 0,$$ como calcular, pero para calcular $x_1^*(1)$$x_1^*(-1)$, es necesario en primer lugar expresar estos vectores en términos de la base $\{x_1\}$ (que no hacer). Usted obtener: $$x_1^*(1) + x_1^*(-1) = x_1^*(1x_1) + x_1^*(-1x_1) = 1x_1^*(x_1)+(-1)x_1^*(x_1) = 1\delta_{11}+(-1)\delta_{11} = 0$$ así.

Answer 2

Usted debe pensar en la $x^*_i$ $i$- ésima función de las coordenadas de la base $X$, en otras palabras, el mapa que se asocia a cualquier vector $v$ el coeficiente de $x_i$ al $v$ se expresa en base a la $X$. Usted puede escribir esta mapas como $$ x^*_i: v=v_1x_1+\cdots+v_nx_n\mapsto v_i $$ Ahora debe quedar claro que cuando se tome $v=x_j$ luego te encuentras con que $x^*_i(x_j)=1$ si $j=i$, e $x^*_i(x_j)=0$ lo contrario. Que es más sucintamente expresada por $x_i^*(x_j) = \delta_{i,j}$.

Answer 3

Usted se equivocó. Si $\dim V=1$ base está dada por la elección de la $0\neq v\in V$. Ahora la base dual consiste en que la única forma de $v^*\in V^*$ tal que $$ v^*(v)=1. $$ Ahora está claro que $v^*(kv)=kv^*(v)=k$ todos los $k\in K$.

Delta de Kronecker es una forma abreviada para definir la doble base al $\dim V\geq 2$. Por ejemplo, si $\dim V=2$ con base $\{v,w\}$, el doble de la base se compone de las formas $\{v^*,w^*\}$ donde $v^*$ es la única forma lineal en $V$ tal que $$ v^*(v)=1,\qquad v^*(w)=0 $$ y $w^*$ es la única forma lineal en $V$ tal que $$ w^*(v)=0,\qquad w^*(w)=1. $$ Debe convencerse de que estas condiciones se definen $v^*$ $w^*$ unambigously y que constituyen una base para $V^*$. De hecho, si $\lambda\in V^*$ es tal que $\lambda(v)=a$ $\lambda(w)=b$ resulta que $$ \lambda=av^*+bw^*. $$ El caso general no es esencialmente diferente.