Cada primer $p \neq 2, 5$ brecha de al menos uno de $\{9, 99, 999, 9999, \dots\}$?

Question

Yo estaba pensando en expresiones decimales de las fracciones, y pensé que una fracción de la forma $\frac{1}{p}$ debe ser expresado como un decimal de repetición si $p$ no divide $100$. Por lo tanto, $\frac{p}{p}$ en decimal sería igual a $0.\overline{999\dots}$ para un número de $9$s, por lo tanto debe haber una cierta cantidad de $9$s tal que $p | 999...$ a fin de que la representación decimal de $\frac{1}{p}$ a ser posible.

Además, la pregunta podría ser reformulado a "un número infinito de" ya que si se divide $999\dots$ donde hay $k$ nueves, también se divide cuando hay $2k, 3k, \dots$ nueves.

Es este razonamiento correcto? Si es así, esta es la forma en que yo pensaba acerca de la prueba:

Podemos reducir el conjunto a $\{1, 11, 111, 1111, \dots\}$ desde $p=3$ obviamente obras.

Deje $a_k = 111\dots$ donde hay$k$. Esto satisface la recursividad $a_k = 10a_{k-1} + 1$

Pero estoy seguro de qué hacer más allá de este punto (intentado buscar en modular los casos, o algo así, pero no era capaz de llegar a cualquier lugar). Estoy en el camino correcto? Es este "conjetura" incluso corregir?

Answer 1

$$ 10^{p-1} \equiv 1 \pmod p $$

Answer 2

Básicamente, usted desea encontrar una $k$ tal que $10^k - 1 \equiv 0 \pmod p$. Esto es equivalente a $10^k \equiv 1 \pmod p$. Hay muchas razones por las que un $k$ existe: (para $p \ne 2,5$), pero yo diría que la más limpia es este:

• $\mathbb{Z}_p$ es un campo, y por lo $(\mathbb{Z}_p)^\times$ es un grupo bajo la multiplicación. Dado que el grupo es finito, $10$ tiene orden finito.

Answer 3

Incluso sin conocimientos de poco Fermat puede resolver esto. Por la caja (box) en principio, el mapa de $\rm\:k\mapsto 10^k\ (mod\ n)\:$ $\,\Bbb N\,$ $\rm\,\Bbb Z/n\Bbb Z\:$no es $1$-$1,$ por lo tanto, no existen productos naturales $\rm\:j\!+\!k > j\:$ tal que $\rm\: 10^{\,j+k}\equiv\,10^{\,j}\ (mod\ n),\ $ es decir $\rm\ n\:|\:10^j(10^k-1).$ $\,(n,10)=1\,\Rightarrow\,n\mid 10^k-1\,$ sigue por Euclides del Lexema.