¿Cómo puedo encontrar el valor de $abc$ usando el dado de ecuaciones?

Question

Si se me ha dado el valor de $$\begin{align*} a+b+c&= 1\\ a^2+b^2+c^2&=9\\ a^3+b^3+c^3 &= 1 \end{align*}$$

El uso de este puedo obtener el valor de $$ab+bc+ca$$

¿Cómo puedo encontrar el valor de $abc$ usando el dado de ecuaciones?

Sólo tengo una sugerencia.

He intentado elevando al cuadrado las ecuaciones.

Pero no pude conseguirlo.

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede obtener un término que involucra $abc$ por cubicación $a+b+c$: $$\begin{align*} (a+b+c)^3 &= (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3\\ &= a^3+3a^2b+3ab^2 + b^3 + 3a^2c+\color{blue}{6abc} + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3. \end{align*}$$ Ahora uso la otra información que usted tiene que tratar de encontrar el valor de $abc$.

Por ejemplo, usted sabe que todo esto es igual a $(a+b+c)^3 = 1$. Usted sabe también que el valor de $a^3+b^3+c^3$...

Answer 2

Isaac Newton podría ayudar con esto. Si $$ \eqalign{ e_0 &= 1 \\ e_1 &= a+b+c \\ e_2 &= ab+bc+ca \\ e_3 &= abc } \qquad \eqalign{ p_1 y= a+b+c \\ p_2 &= a^2+b^2+c^2 \\ p_3 &= a^3+b^3+c^3 } $$ a continuación, mostró que $$ \eqalign{ e_1 &= p_1 \\ 2 \, e_2 &= e_1p_1-p_2 \\ 3 \, e_3 &= e_2p_1-e_1p_2+p_3 \\ } $$ (que resuelve el problema) y (esporádicamente) $$ \eqalign{ p_1 &= p_1 \\ p_2 &= e_1p_1-2 \, e_2 \\ p_3 &= e_1p_2-e_2p_1+3 \, p_3. \\ } $$ Spoiler de abajo...

$$\eqalign{e_1 &= p_1 &= 1 \\2 \, e_2 &= e_1p_1-p_2 &= 1\cdot1-9 =-8 &\implies e_2=-4 \\3 \, e_3 &= e_2p_1-e_1p_2+p_3 &=-4\cdot1-1\cdot9+1=-12 &\implies e_3=-4 \\}$$

Las fórmulas de Newton encontrado se llama Newton identidades, o el método de Newton–Girard fórmulas, y se refiere a dos tipos de polinomios simétricos: (1) el (homogéneo) suma de $k^\text{th}$ poderes, $p_k$, de cierto número de indeterminates $a,b,c\dots$ y (2) las cantidades de productos de cada una de las $k$ indeterminates, que se denotan por $e_k$ y son llamados primaria simétrica polinomios. Es una aplicación muy útil truco, y se generaliza a $n$ indeterminates y $1\le k\le n$, pero normalmente no está cubierto de precálculo.

Answer 3

En general, $$a^n + b^n + c^n = \sum_{i+2j+3k=n} (-1)^j \frac{n}{i+j+k}{i+j+k\choose i,j,k}s_1^is_2^js_3^k$$ donde la suma es sobre los no-negativo $i,j,k$, y donde $s_1=a+b+c$, $s_2=ab+ac+bc$ y $s_3=abc$.

En particular, cuando se $n=3$ sólo hay tres triples $(i,j,k)=(3,0,0),(1,1,0),(0,0,1)$, y se obtiene:

$$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 - 3(ab+ac+bc)(a+b+c) + 3abc$$

Ahora resolver para $abc$.

Answer 4

Si $a,b,c$ resolver la ecuación de $x^3+mx^2+nx+p=0$, entonces usted sabe que $S_3+mS_2+nS_1+3p=0$ donde $S_i=a^i+b^i+c^i$. A partir de la suma de encontrar que $m$ es. La expresión de $n$$ab+bc+ca$. Usted puede encontrar $p$ sustituyendo todos los valores en la ecuación. A continuación, usted puede encontrar el producto, que es $-p$ y, finalmente, resolver la ecuación.

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Alternativamente, usted puede encontrar el producto utilizando la fórmula $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) $$

Answer 5

Primera $\displaystyle{(a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}$, lo que implica $1 = 9+2X$ donde $X=(ab+bc+ca) \implies (ab+bc+ca)=-4$

El uso de $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$, y sustituyendo los valores conocidos $1-3Y = 9+4$ y resolver para $Y=abc$

Nota: siempre puede consultar con Wolfram Alpha si su respuesta es correcta (no para resolver el problema) Verificación http://tinyurl.com/7n6ey2t