Derivada de una función multivariable

Question

Vamos a definir una función de $f$ $M(n,\mathbb{R})$ $M(n,\mathbb{R})$por el tratamiento de la $M(n,\mathbb{R})\approx\mathbb{R}^{n^2}$, por $$f(X)=e^X+X$$ where $$e^X=1+X/{1!}+X^2/{2!}+\dots$$ I want to find the (Frechet) derivative of $f$.

Sabemos que, si la derivada existe en $X$, luego $$f(X+H)-f(X)=f'(X)H+r(H)$$ where $r(H)/\|H\|\a \bf{0}$ as $H\a \bf{0}$.

Así que fui a ver la diferencia, pero no podía entender la parte lineal ($f'(X)H$) y el resto de la parte ($r(H)$).

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

El Frechet derivada es lineal, por lo que la única parte difícil es encontrar la derivada de la exponencial (como $f$ es la exponencial además de la identidad; la identidad es lineal y por lo que es su propia derivada). Este parece ser bien conocidos por los expertos: después de una búsqueda rápida, la derivada se describe aquí (Teorema 3.1) y aquí (véase la segunda diapositiva).

La traducción de los dos en su notación, han $$ f'(X)H=H+\sum_{k=1}^\infty\frac1{k!}\sum_{j=1}^kX^{j-1}HX^{k-j}, $$ o $$ f'(X)H=H+\int_0^1e^{X(1-s)}Él^{Xs}\,ds. $$

Answer 2

Bien $$e^{X+H}-e^{X}=1+(X+H)/{1!}+(X+H)^2/{2!}+\dots-(1+X/{1!}+X^2/{2!}+\dots)$$

Cómo la tesis de la serie absolutamente convergente tenemos

$$e^{X+H}-e^{X}=(1-1)+\frac{(X+H)-X}{1!}+\frac{(X+H)^2-X^2}{2!}+\dots$$

Pero tenga en cuenta que $$(X+H)^n=X^n+\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^{n}{X_{ij}}+o(H)$$

Donde $X_{ij}=H$ si $i=j$ $X_{ij}=X$ si $i\neq j$.

Y ellos, podemos afirmar que $$f'(X)H=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^{n}{X_{ij}}$$

Y siempre $H$ viajes con $X$ obtenemos $f'(X)H=e^X H$.