Probar que existe un número infinito de números enteros positivos $n$, $nS_{p}(n)+2014n\ge S_{p}(n^2)+2014S_{p}(n)$

Question

Probar que existe un número infinito de números enteros positivos $n$

tal $$nS_{p}(n)+2014S_{p}(n)\ge S_{p}(n^2)+2014n$$ o $$(n+2014)S_{p}(n)\ge S_{p}(n^2)+2014\cdot n$$

Aquí $S_{p}(n)$ es la suma de los dígitos de $n$ cuando se escriben en la base de $p$donde $p$ es el prime

si $n$ es igual a $p^k$,tenemos $$nS_{p}(n)+2014S_{p}(n)=n+2014$$ $$S_{p}(n^2)+2014n=2014n +1$$ this case is not true for $n=p^k$

Answer 1

Esta prueba no requiere que $p$ es primo (que necesita sólo $p$ a ser un número entero mayor que $1$). Deje $\mathbf{r}:=\left\{r_i\right\}_{i=0}^k$ ser una secuencia de números enteros no negativos tales que $r_i>2\,r_{i-1}$ todos los $i=1,2,\ldots,k$, y definir $n(\mathbf{r})$$\sum_{i=0}^k \,p^{r_i}$. Tenga en cuenta que $S_p\big(n(\mathbf{r})\big)=k+1$ y $$\big(n(\mathbf{r})\big)^2=\sum_{i=0}^k\,\sum_{j=0}^k\,p^{r_i+r_j}\,,$$ por lo $S_p\Big(\big(n(\mathbf{r})\big)^2\Big)\leq \Big(S_p\big(n(\mathbf{r})\big)\Big)^2=(k+1)^2$. Es decir, $$\big(n(\mathbf{r})+2014\big)\,S_p\big(n(\mathbf{r})\big)=(k+1)\big(n(\mathbf{r})+2014\big)\,,$$ mientras
$$\Big(S_p\big(n(\mathbf{r})\big)\Big)^2+2014\,n(\mathbf{r})\leq (k+1)^2+2014\,n(\mathbf{r})\,.$$ Si $k\geq 2014$, luego $n(\mathbf{r})\geq k+1$, $(k+1)^2-2014(k+1)=(k-2013)(k+1)$, y $(k+1)\,n(\mathbf{r})-2014\,n(\mathbf{r})=(k-2013)\,n(\mathbf{r})$. Ergo, $$(k+1)^2-2014(k+1) \leq (k+1)\,n(\mathbf{r})-2014\,n(\mathbf{r})\,.$$ En consecuencia, $$ \begin{align} \Big(S_p\big(n(\mathbf{r})\big)\Big)^2+2014\,n(\mathbf{r}) &\leq (k+1)^2+2014\,n(\mathbf{r}) \\ &\leq (k+1)\big(n(\mathbf{r})+2014\big) \\ &= \big(n(\mathbf{r})+2014\big)\,S_p\big(n(\mathbf{r})\big)\,. \end{align}$$ Por lo tanto, todos los enteros de la forma $n(\mathbf{r})$ satisfacer la necesaria desigualdad. También se puede reemplazar $2014$ cualquier $N\in\mathbb{N}$ (en cuyo caso, $k$ es llevado a ser, al menos,$N$).