Quiero demostrar que no hay ninguna función $v \in L^2(-1,1)$ con $\int_{-1}^{1} v(x)\phi(x) dx = 2\phi(0)$ para todos $\phi \in C^\infty_0(-1, 1)$ ( $\phi$ es $0$ en todas partes menos $[-1,1] $ ).
Conozco la distribución delta o la medida de dirac, pero me gustaría resolver esto sin usar ninguna de ellas, si es posible. Estoy bastante desamparado porque la condición que $\phi \in C^\infty_0(-1, 1)$ es bastante fuerte, así que no puedo construir ningún contraejemplo.
Supongamos que existe un $v$ . Sea $\phi$ ser como se indica con $\phi(0)\ne 0$ . Entonces $$ \phi(0)=\int_{-1}^{1}e^{-rx^{2}}\phi(x)v(x)dx, \;\;\; r \ge 0. $$ Sea $r\rightarrow\infty$ y aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue para obtener una contradicción: $$ \phi(0)=\lim_{r\rightarrow\infty}\int_{-1}^{1}e^{-rx^{2}}\phi(x)v(x)dx = 0. $$
Supongamos que la afirmación es cierta; Podemos entonces definir funciones suaves que son $0$ cerca de $0$ es decir, para un intervalo pequeño $(-a,a)$ tenemos que $\phi_{a,r,s} (x) \equiv 0$ en él, pero $\phi_{a,r,s} \equiv 1$ en la intersección del complemento de $(-2a,2a)$ y algún intervalo $(r,s)$ .
Entonces tenemos que $\langle v, \phi_{a,r,s} \rangle =0$ . Eligiendo una secuencia adecuada de $\phi$ podemos encontrar que (después de hacer $a\to 0$ )
$$ \int _r ^s v(x) dx = 0 $$
Como este argumento era independiente de $r,s$ podemos utilizar el Teorema de la diferenciación de Lebesgue, para obtener que $ v \equiv 0$ casi en todas partes. Pero esto es claramente una contradicción, que surgió cuando supusimos que la delta de dirac era absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue.
Creo que esto funciona: Supongamos que tal $v$ existe, entonces para cualquier $2> \epsilon > 0, \exists \delta > 0$ tal que para cualquier $A \subset (-1,1)$ medible $$ m(A) < \delta \Rightarrow \int_A |v^2| < \epsilon $$ Ahora elija un $\varphi \in C_0^{\infty}(-1,1)$ tal que $\varphi(0) = 1, \varphi \equiv 0$ fuera del intervalo $A:= (-\delta/4,\delta/4)$ y $\|\varphi\|_2 = 1$ entonces por Cauchy-Schwarz se tiene $$ 2 = |\int_{-1}^1 v(x)\varphi(x)dx| = |\int_A v(x)\varphi(x)dx| \leq (\int_A |v|^2)^{1/2} \|\varphi\|_2 \leq \epsilon $$ lo que da una contradicción.
Suponga que tiene $f \in L^2(-1,1)$ con $\langle f,g \rangle = 2g(0)$ para todos $g \in C^\infty_0$ . Por Cauchy-Schwarz, para cualquier $g \in C^\infty_0$ tenemos $\langle f,g \rangle \leq \| f \|_2 \| g \|_2$ .
Utilizando una función bump, construye $g \in C^\infty_0$ tal que $g(0)=1$ pero $\| g \|_2 < 2/\| f \|_2$ . Por ejemplo $M=\max \{ 2,\| f \|_2 \}$ y elija $g$ para ser maximizado en cero y apoyado en $[-1/M,1/M]$ .
Entonces $2g(0) = 2 < 2$ que es una contradicción.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
