Tedioso límite indefinido sin L ' % Hospital $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \,\,\frac{{\tan \,(x)}}{{\ln \,(2x - \pi )}}$

Question

Cuando intento calcular este límite: $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \,\,\frac{{\tan \,(x)}}{{\ln \,(2x - \pi )}}$ $

Encuentro esto: $$\begin{array}{l} L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \,\,\frac{{\tan \,(x)}}{{\ln \,(2x - \pi )}}\\ \text{variable changing}\\ y = 2x - \pi \\ x \to \frac{\pi }{2}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,y \to 0\\ \text{so:}\\ L = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \,\,\frac{{\tan \,\left( {\frac{{y + \pi }}{2}} \right)}}{{\ln \,(y)}} = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \,\,\frac{{\tan \,\left( {\frac{y}{2} + \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\ln \,(y)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \,\,\frac{{ - \cot\,\left( {\frac{y}{2}} \right)}}{{\ln \,(y)}} = - \mathop {\lim }\limits_{y \to 0} \,\,\frac{{\csc (y) + \cot (y)}}{{\ln \,(y)}}\\ = \frac{{ \pm \infty \pm \infty }}{{ - \infty }} = ?? \end{matriz} $$ y en la última parte me han pegado,

debe obtenerse utilizando software matemático $L= \pm \infty$

¿cómo justificar sin L'Hospital?

Answer 1

El cambio de variables es un buen comienzo! Escribir $$ -\frac{\cuna \frac y2}{\ln y} = -2 \cos\frac y2 \cdot \frac{\frac y2}{\sin\frac y2} \cdot \frac1{y\ln y}. $$ El primer factor tiene límite de $-2$$y\to0$, por la continuidad; el segundo factor tiene límite de $1$$y\to0$, debido a que el límite fundamental de resultado $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}x = 1$; y el denominador de la última factor tiende a $0$ $y\to0+$ (y está definido como:$y\to0-$). Por tanto, toda la cosa tiende a $-\infty$.

Esto depende de dos límites fundamentales, a saber,$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}x = 1$$\lim_{x\to0+} x\ln x = 0$. La primera puede ser establecido por geométricas argumentos, seguro. Yo tendría que pensar acerca de la segunda, pero presumiblemente se tiene de l'Hospital libre de la prueba así.

Answer 2

\begin{align} \color{#66f}{\large\lim_{x\ \to\ \pi/2}{\tan\left(x\right) \over \ln\left(2x - \pi\right)}}&= \lim_{y\ \to\ 0}{\tan\left(y/2 + \pi/2\right) \over \ln\left(y\right)} =\lim_{y\ \to\ 0}{-\cot\left(y/2\right) \over \ln\left(y\right)} =-2\lim_{y\ \to\ 0}{1 \over y\ln\left(y\right)}\,{y/2 \over \tan\left(y/2\right)} \\[5mm]&=-2\left[\lim_{y\ \to\ 0}{1 \over y\ln\left(y\right)}\right]\ \underbrace{\left[\lim_{y\ \to\ 0}{y/2 \over \tan\left(y/2\right)}\right]} _{\displaystyle=\color{#c00000}{\large 1}} =-2\lim_{y\ \to\ 0}{1 \over \ln\left(y^{y}\right)} = \color{#66f}{\large +\infty} \end{align}