Cómo encontrar la CDF de la distribución binomial en términos de una integral

Question

Esta página de la wiki dice que la CDF de la distribución binomial en términos de la función beta, puede ser expresado como

$$F(k;n,p)=Pr(X\leq k)=(n-k){{n}\choose{k}}\int_0^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^k {d}t$$

Cómo probar la igualdad? No acabo de tener el acceso al libro que hace referencia la página de la wiki( Wadsworth, G. P. (1960). Introducción a la probabilidad y variables aleatorias. Estados UNIDOS: McGraw-Hill de Nueva York. p. 52.)

Answer 1

Usando integración por partes se obtiene: $$F(k;n,p)=Pr(X\leq k)=(n-k){{n}\choose{k}}\int_0^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^k {d}t$$ $$=(n-k){{n}\choose{k}}\int_0^{1-p}(1-t)^k {d}\frac{t^{n-k}}{n-k}$$ $$=(n-k){{n}\choose{k}}\frac{1}{n-k}\left[(1-t)^kt^{n-k}|_0^{1-p}-\int_0^{1-p}t^{n-k}d(1-t)^k\right]$$ $$={{n}\choose{k}}\left[(1-1+p)^k(1-p)^{n-k}+k\int_0^{1-p}t^{n-k}(1-t)^{k-1}dt\right]$$ $$={{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}+{{n}\choose{k}}k\int_0^{1-p}t^{n-k}(1-t)^{k-1}dt$$ $$={{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}+{{n}\choose{k}}\frac{k}{n-k+1}\int_0^{1-p}(1-t)^{k-1}dt^{n-k+1}= etc.$$