Continuas con soporte compacto implica continuidad uniforme

Question

Esto podría ser un duplicado, pero he intentado buscar en google el MSE sitio y no podía encontrar una respuesta satisfactoria.

Deje $(X, d)$ ser un espacio métrico y $f$ ser una verdadera valores de función continua en $X$. Supongamos $f$ tiene un tamaño compacto. ¿Esto implica la continuidad uniforme de $f$?

He intentado probar esta afirmación, pero sólo localmente espacios conectados he logrado hacerlo. Es, pues, la verdadera general métrica espacios? Yo no podía dar una prueba (o un contraejemplo) por mí mismo. Por favor me ilumine.

Answer 1

Deje $f:X\to\mathbf{R}$ la satisfacción de su hipótesis. Existe $K$ compact s.t. $f_{|X \setminus K}=0$.

Vamos a demostrar a $f$ es uniformemente continua. Deje $\epsilon>0$. Por el teorema de Heine aplicado a $f_{|K}$, $f$ es uniformemente continua en a $K$:

$$\exists \delta_1>0 \; \forall (x, y) \in K^2 \; d(x,y) < \delta_1 \implies |f(x)-f(y)| < \epsilon$$

Si $(x, y) \in (X\setminus K)^2$, $\delta_1$ obras.

Ahora supongamos por contradicción que existe $\epsilon>0$ s.t. para todos los $n \in \mathbf{N}$, existe $x_n \in K$, $y_n \in X\setminus K$ s.t. $d(x_n, y_n) < 2^{-n}$ y $|f(x_n) - f(y_n)| > \epsilon$. $(x_n)$ se encuentra en un espacio reducido, de modo que existe $\sigma$ estrictamente creciente y $x \in K$ s.t. $x_{\sigma(n)} \to x$. A continuación,$y_{\sigma(n)} \to x$, pero $|f(x_{\sigma(n)}) -f(y_{\sigma(n)})| > \epsilon$, lo $f$ no es continua en a $x$, contradicción.

Por lo tanto:

$$\exists \delta_2>0 \; \forall (x, y) \in K \times (X \setminus K) \; d(x,y) < \delta_2 \implies |f(x)-f(y)| < \epsilon$$

Finalmente, $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ obras.

Answer 2

Vamos $X_1=X$ \ $f^{-1}\{0\}.$

(1). Para $r>0$ existe $s>0$ tal que $\forall x\in \overline {X_1}\;(|f(x)|\geq r\implies B_d(x,s)\subset \overline {X_1}).$

Si no, entonces para $n\in \mathbb N,$ $x_n\in \overline {X_1}$ y $y_n\in X$ \ $\overline {X_1}$ con $|f(x_n)|\geq r$ $d(x_n,y_n)<1/n.$ Por la compacidad de $\overline {X_1}$, tomar un convergentes subsequence $(x_{n_i})_i$ convergentes a $p\in \overline {X_1}.$ $(f(x_{n_i}))_i$ converge a $f(p),$ $|f(p)|\geq r.$ Pero $(y_{n_i})_i$ también converge a $p,$ y $f(y_{n_i})=0,$ contradiciendo la continuidad de $f.$

(2). Para $r>0,$ $s>0$ tal que $$\cup \{B_d(x,s): |f(x)|\geq r \} \subset \overline {X_1}.$$ Now $f|_{\overline {X_1}}$ is uniformly continuous because $\overline {X_1}$ is compact. So Take $s'\en (0,s)$ such that $$\forall x,y\in \overline {X_1}\;(d(x,y)<s'\implies |f(x)-f(y)|<r).$$ Now if $x\in \overline {X_1}$ and $s\in X$ \ $\overline {X_1}$ with $d(x,y)<s<s$ then $|f(x)|<r$, so $|f(x)-f(y)|=|f(y)-0|<r.$ And of course if $x,y \in X$ \ $X_1$ then $|f(x)-f(y)|=0<r.$