Matrices - condiciones para $AB+BA=0$

Question

El Problema Deje $A$ ser la matriz $\bigl(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \bigr)$, donde nadie se de $a,b,c,d$$0$. Deje $B$ $2\times 2$ matriz tal que $AB+BA=\bigl(\begin{smallmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{smallmatrix} \bigr)$. Demostrar

1. $a+d=0$, en cuyo caso la solución general para $B$ depende de 2 parámetros, o
2. $ad-bc=0$, en cuyo caso la solución general para $B$ depende de un parámetro.

(esta es la pregunta 22 de la última matriz de ejercicio de la Más Pura de las Matemáticas por Bostock et al.)

Comentarios de la Escritura $B=\bigl(\begin{smallmatrix} e&f\\ g&h \end{smallmatrix} \bigr)$ y multiplicarse me sale que

1. $(a+d)(f+g)+(b+c)(e+h)=0$
2. $ae+bg+cf+dh=0$

pero soy incapaz de obtener la requerida restricciones en $a,b,c,d$. Hay una forma rápida de hacer con el problema de que no requiere manual de cálculo? Pensé considerando invertible y no invertible de los casos, pero no podía llegar a ninguna parte. Ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

El operador lineal $B \to AB + BA$ corresponde a la $4 \times 4$ matriz $$ M = \pmatrix{2a & b & c & 0\cr c & a+d & 0 & c\cr b & 0 & a+d & b\cr 0 & b & c & 2d\cr}$$ el uso de la base $\left(\pmatrix{1 & 0\cr 0 & 0\cr}, \pmatrix{0 & 1\cr 0 & 0\cr},\pmatrix{0 & 0\cr 1 & 0\cr}, \pmatrix{0 & 0\cr 0 & 1\cr}\right)$ de la $2 \times 2$ matrices. Esto ha determinante $$-4\,bc{d}^{2}-8\,bcad-4\,ac{a}^{2}+4\, {d}^{3}+8\,{d}^{2}{a}^{2}+4\,d{ un}^{3}=4\, \a la izquierda( a+d \right) ^{2} \left( ad-bc \right) $$ así que hay distinto de cero soluciones para $B$ si y sólo si $a+d=0$ o $ad-bc=0$. Si $a+d=0$, sustituyendo $d = -a$ $M$ tenemos $$ \pmatrix{2a & b & c & 0\cr c & 0 & 0 & c\cr b & 0 & 0 & b\cr 0 & b & c & -2a\cr}$$ Mientras $a,b,c$ no son todos los $0$, esto tiene rango $2$, por lo que hay un $2$-dimensional del espacio lineal de $B$ que $AB + BA = 0$ en este caso. Por otro lado, si $ad - bc = 0$ pero $a+d \ne 0$ la matriz debe tener rango de $3$ y solo debemos tener un $1$-dimensional del espacio lineal de $B$: de hecho, la $(1,1)$, $(2,3)$, $(3,2)$ y $(4,4)$ entradas de la clásica adjunto de la matriz son $2(d^2 + ad-bc)(a+d)$, ($2 c^2 (a+d)$, $2 b^2 (a+d)$ y $2 (a^2 + ad-bc)(a+d)$ respectivamente: si $ad-bc=0$, $a+d \ne 0 $ y el rango es menor que $3$, todos estos serían $0$, lo que implica $a=b=c=d=0$.

EDIT: En el $3 \times 3$ de los casos, el factor determinante de la $9 \times 9$ matriz es $$\eqalign{8\, y\left( a_{{3,3}}a_{{1,1}}a_{{2,2}}-a_{{2,3}}a_{{3,2}}a_{{1,1}}+a_{ {1,3}}a_{{2,1}}a_{{3,2}}-a_{{3,3}}a_{{1,2}}a_{{2,1}}+a_{{2,3}}a_{{1,2} }a_{{3,1}}-a_{{1,3}}a_{{3,1}}a_{{2,2}} \right)\cr &( -a_{{2,3}}a_{{1 ,2}}a_{{3,1}}-a_{{1,3}}a_{{3,1}}a_{{3,3}}-a_{{1,2}}a_{{2,1}}a_{{2,2}}+ {a_{{3,3}}}^{2}a_{{1,1}}+a_{{1,1}}{a_{{2,2}}}^{2}-a_{{1,3}}a_{{1,1}}a_ {{3,1}}-a_{{1,1}}a_{{1,2}}a_{{2,1}}+{a_{{3,3}}}^{2}a_{{2,2}}\cr&+2\,a_{{3, 3}}a_{{1,1}}a_{{2,2}}+a_{{3,3}}{a_{{2,2}}}^{2}-a_{{2,3}}a_{{3,2}}a_{{3 ,3}}-a_{{1,3}}a_{{2,1}}a_{{3,2}}-a_{{2,3}}a_{{3,2}}a_{{2,2}}+{a_{{1,1} }}^{2}a_{{2,2}}+a_{{3,3}}{a_{{1,1}}}^{2} ) ^{2}\cr} $$ A mí me parece que hay un $1$-dimensional del espacio de solución, cuando uno de estos factores es $0$ $2$- dimensiones del espacio cuando el otro es $0$. A continuación, hay un buen número de casos en los que ambos factores son $0$, algunos de los cuales conducen a $3$-dimensiones de los espacios.

Answer 2

No tenga miedo de un montón de ecuaciones. Sólo un puñado de brutal fuerza es suficiente aquí.

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Con la notación en el problema, nos encontramos con que $AB + BA = O$ fib

$$\left\{\;\begin{matrix} 2ae + bg + cf = 0,\\ bg + cf + 2dh = 0,\\ f(a+d) + b(e+h) = 0,\\ g(a+d) + c(e+h)=0. \end{de la matriz}\right.$$

mediante la comparación de cada componente. Esto es equivalente a

$$\left\{\;\begin{matrix} ae + bg + cf + dh = 0,\\ ae = dh,\\ f(a+d) + b(e+h) = 0,\\ g(a+d) + c(e+h)=0. \end{de la matriz}\right. \etiqueta{1}$$

Caso 1) Supongamos primero que $a+d \neq 0$. Luego de $(1)$-2, tenemos $$ k := \frac{e}{d} = \frac{h}{a} = \frac{e+h}{a+d}. $$ Conectando a $(1)$-3 $(1)$-4, tenemos $$ f + bk = 0 \quad \text{and} \quad g + ck = 0. $$ Esto determina completamente $B$, de la siguiente manera: $$B = \begin{pmatrix}e & f \\ g & h \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = k \, \mathrm{adj}(A). \tag{2} $$ Además, hemos $$ 0 = ae + bg + cf + dh = 2(ad-bc)k, \tag{3} $$ que ofrece al $k = 0$ o $\det A = 0$ o más consicely, $\det B = 0$. Por el contrario, asumiendo $(2)$$(3)$, tenemos $$ AB + BA = (2k \det A) I = O.$$

Caso 2. Ahora suponga $a+d = 0$. A continuación, podemos encontrar fácilmente que $(1)$ es equivalente a $$e+h = 0 \quad \text{and} \quad 2ae + bg + cf = 0.$$ Así $$ B = \begin{pmatrix}e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e & f \\ -\tfrac{2a}{b}e-\tfrac{c}{b}f & -e \end{pmatrix},$$ o más simétricamente, para un nuevo parámetro de $k$ dada por $$ae + cf = -(ae + bg) = k,$$ tenemos $$ B = \begin{pmatrix}e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e & \frac{k - ae}{c} \\ -\frac{k+ae}{b} & -e \end{pmatrix}. \tag{4}$$ De nuevo, es fácil comprobar lo contrario; que cualquier matriz $B$ de la forma $(4)$ satisface $AB + BA = O$ al $a+d = 0$.

Answer 3

Hay un álgebra manera de ver esto. Para ser claro, suponemos que el campo de tierra $\mathbb{F}$ no es de característica 2, y $A$ es un valor distinto de cero matriz de 2x2.

Deje $M_A$ $\mathbb{F}[x]$- módulo donde $x$ acción está dado por $A$ multiplicación, entonces considere el $M_{-A}$ en el mismo camino por donde la acción es $-A$ multiplicación.

Entonces el conjunto de soluciones de $B$ $AB+BA=0$puede ser considerado como
$$ M=Hom_{\mathbb{F}[x]}(M_A,M_{-A})$$

Por la estructura teorema de finitely módulo generado más de $\mathbb{F}[x]$(es PID), ya sea

$$(I)\text{ }M_A\simeq \mathbb{F}[x]/(f(x)), \text{ }M_{-A}\simeq \mathbb{F}[x]/(f(-x))$$ for some irreducible polynomial $f\in\mathbb{F}[x]$ de grado 2, o $$(II)\text{ }M_A\simeq \mathbb{F}[x]/(x-\lambda)\oplus \mathbb{F}[x]/(x-\mu),\text{ }M_{-A}\simeq \mathbb{F}[x]/(x+\lambda)\oplus \mathbb{F}[x]/(x+\mu)$$ for some $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$, o $$(III)\text{ }M_A\simeq \mathbb{F}[x]/(x-\lambda)^2,\text{ }M_{-A}\simeq \mathbb{F}[x]/(x+\lambda)^2$$

Existen distinto de cero $\mathbb{F}[x]$ homomorphism de $M_A$ $M_{-A}$si y sólo si $M_A$ cae en el primer caso, con $f(x)=x^2+f(0)$, o en el segundo caso, con uno de los siguientes: (i) $\lambda=-\mu\neq 0$, o (ii) $\lambda\mu=0$), o el tercer caso con $\lambda=0$.

(I), (II)(i), (III) dar a $a+d=0$, e $\textrm{dim}_{\mathbb{F}}M=2$. (II)(ii) en el caso de dar $ad-bc=0$, e $\textrm{dim}_{\mathbb{F}}M=1$.