$2005|(a^3+b^3) , 2005|(a^4+b^4 ) \implies2005|a^5+b^5$

Question

¿Cómo puedo demostrar que si $$2005|a^3+b^3 , 2005|a^4+b^4$$ then $$2005|a^5+b^5$$ Estoy tratando de solucionarlos de $a^{2k+1} + b^{2k+1}=...$ pero no voy a llegar a ninguna parte.

Puede usted por favor, seleccione en mí la dirección correcta?

Gracias de antemano

Answer 1

$(a^5+b^5) = (a+b)(a^4+b^4) - ab(a^3+b^3)$.

Así que para cualquier $n$ si $n \mid a^3+b^3$$n \mid a^4+b^4$$n \mid a^5+b^5$.

Answer 2

En realidad, usted no necesita el $a^4 + b^4$. $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Resulta que $a^2 - ab + b^2 \equiv 0$ no tiene soluciones, excepto $(0,0)$ mod cualquiera de las $5$ o $401$, por lo que la única manera de tener $a^3 + b^3 \equiv 0 \mod 2005$ es $a + b \equiv 0$, y, a continuación, usted también tiene $a^k + b^k \equiv 0 \mod 2005$ para cada entero positivo impar $k$.

Answer 3

Si el primer $p|(a^3+b^3), p|(a+b)(a^3+b^3) \implies p| \{(a^4+b^4)+ab(a^2+b^2)\}$

Si $p|(a^4+b^4), p$ debe dividir $ab(a^2+b^2)$

Si $p|a,$ $p$ debe dividir $b$ $p|(a^3+b^3)$

Si $p|a$ $p|b,$ $p|(a^n+b^n)$ por entero $n\ge1$

Otra cosa $p\not\mid ab $ $p|(a^2+b^2)\implies p|(a+b)(a^2+b^2) \implies p| \{(a^3+b^3)+ab(a+b)\}$

Como $p|(a^3+b^3),p|ab(a+b)\implies p|(a+b)$ $p\not\mid ab$

Como $p|(a+b)$ $p|(a^m+b^m)$ por entero impar $m\ge1$

Ahora pon $p=5,p=401$ por separado y utilizar lcm$[5,401]=2005$

Answer 4

A menos que cometí un error, tenemos una factorización en primos $2005=5\cdot401$.

Idea: Mostrar la divisibilidad por $5$ $401$ por separado.

Sugerencia #1: Poco Fermat modulo $5$.

Sugerencia #2: $\gcd(400,3)=1$, lo $x\mapsto x^3$ es un automorphism de $\mathbb{Z}_{401}^*$.

Answer 5

un poco superior en capacidad de respuesta;tenemos $2005=401.5$ $p=5,401$ también: $$a^5+b^5=(a+b)(a^4+b^4-ab(a^2-ab+b^2)) \tag I$$.también tenemos $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) \tag {II} $$ from the $p|a^3+b^3$ we have 2 cases : 1) if $p|a+b$ then from $(I)$ we have $p|^5+b^5$ 2)si $p|(a^2-ab+b^2)$ por la atención a $(II)$,$p|(-ab)(a^2-ab+b^2)$y, por tanto, $p|a^5+b^5$ por(I) y $p|a^4+b^4$.$$$$ siguiente paso es el uso de la definición de la pantalla LCD:$2005=[401,5]|a^5+b^5$ .