¿Cómo puedo probar que la covarianza de la variable aleatoria $X$ y $e^{X}$ no es negativo independientemente de la distribución de $X$ . Supongo que es verdad.
$$\begin{align} \operatorname{Cov}(X,e^X)&=E[Xe^X]-E[X]E[e^X]\\ &=E[Xe^X-\mu e^X]\\ &=E[(X-\mu)e^X] \\&=E[(X-\mu)(e^X-e^{\mu})] \end{align} $$
El último paso viene de $E[(X-\mu) c] = 0$ para cualquier constante $c$ .
Porque $e^x$ es no decreciente (esto es todo lo que necesitamos), $(x-\mu)(e^x-e^{\mu})\geq0$ $\forall x$
Por lo tanto, $\operatorname{Cov}(X,e^X) \ge 0$
¿Es esta afirmación tan verdadera cov( $X,Y$ ) $>= 0$ y $f$ es una función no decreciente, entonces cov( $X,f(Y)$ ) $>= 0$ ? ¿Y dónde puedo encontrarlo?
No estoy seguro, porque aquí se asume que $E[e^{X}] = e^{E[X]} $ que no es lo mismo en general.
Supongamos que $X$ y $Y$ son dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Dado que $e^x$ es una función creciente, $X-Y$ y $e^{X}-e^Y$ son cofirmantes. Así que lo siguiente es válido: $$ \mathbb E[(X-Y)(e^X-e^Y)]\geq 0. $$ Partiendo de la base de que $X$ y $Y$ están idénticamente distribuidos, tenemos $\mathbb E(e^X)=\mathbb E(e^Y)$ y $\mathbb E(X)=\mathbb E(Y)$ . Por lo tanto: $$ \mathbb E[(X-Y)(e^X-e^Y)]=2\mathbb E(Xe^X)-2\mathbb E(X)\mathbb E(e^X)\geq 0. $$ El último es dos veces la covarianza de $X$ y $e^X$ .
La afirmación se puede generalizar para cualquier función creciente $f$ . Lo contrario es válido para cualquier función decreciente.
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Es $E$ ¿una constante positiva?
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Sí, en realidad es e. Perdón por la confusión
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Por positivo, te refieres a no negativo (se permite el 0), ¿verdad?
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Basta con que no sea negativo
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(Bueno, eso espero, porque también es necesario -- hay ejemplos fáciles de distribuciones para las que es cero)
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Es cierto, pero aún no he conseguido demostrarlo así.
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No se trata de una prueba, sino sólo de una exploración. Para $X$ siendo una r.v. asumiendo el valor $k$ con probabilidad $p$ y $0$ con probabilidad $(1-p)$ , puede encontrar que $\text{cov}(X, e^X)=p(p-1)(1-e^k) k\ge 0$ para $p\in[0,1]$ y $k \in \Bbb R$ .
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@samo He resuelto el problema con $\frac{\gamma (1-\gamma) e^u}{\left(\gamma e^u-\gamma+1\right)^2}$ ¿por qué lo has borrado?