¿Es convergente la serie siguiente?

Question

Que $A=\sum_{1}^{\infty}a_{n}$ ser una serie convergente. Para cada $n$, definir

$$b_{n}=\frac{a_{1}+2a_{2}+...+na_{n}}{n(n+1)}.$$

¿$\sum_{1}^{\infty}b_{n}$ Es convergente?

Answer 1

Reorganizar esta cantidad, recibirá %#% $ #%

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Estricta prueba: Consideramos la suma parcial de $$\sum_{n=1}^\infty b_n=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n k a_k = \sum_{n=1}^\infty na_n \left( \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=\sum_{n=1}^\infty a_n.$. Es de suma parcial de$\sum b_n\sum b_n

Que $$\frac{1}{N+1}\sum_{n=1}^N (N+1-n) a_n.$, entonces$\sum a_n =L

Por def. de límite, para todos los $$\left| \frac{1}{N+1}\sum_{n=1}^N (N+1-n) a_n-L \right|\le \frac{|L|}{N+1}+\frac{1}{N+1} \sum_{n=1}^N |a_1+a_2+\cdots +a_n -L|$ allí existe $\varepsilon>0$ tal que $M$ y $n>M$. Supongamos que $|a_1+a_2+\cdots +a_n -L|<\varepsilon$ y $N>M$ $ % que$$ \sum_{n=1}^N |a_1+a_2+\cdots +a_n -L| \le \sum_{n=1}^M |a_1+a_2+\cdots +a_n -L|+\sum_{n=M+1}^N \varepsilon$$

tomar $$\left| \frac{1}{N+1}\sum_{n=1}^N (N+1-n) a_n-L \right|\le \frac{|L|}{N+1}+\frac{1}{N+1} \sum_{n=1}^M |a_1+a_2+\cdots +a_n -L|+\frac{N+1-M}{N+1}\varepsilon$%$ $N\to\infty$

% de todos $$\lim_{N\to\infty}\left| \frac{1}{N+1}\sum_{n=1}^N (N+1-n) a_n-L \right|\le \varepsilon$. Así$\varepsilon>0$.