¿Pueden comportarse "paradójicamente" en relación con uniones, intersecciones y traducción pactos en una línea real? ¿Qué otros grupos topológicos?

Question

Tengo la siguiente pregunta que no puedo contestar yo.

Considere dos pactos $A$ $B$ sobre la línea real $\mathbb R$. Deje $A'$ ser una traducción de $A$ $B'$ una traducción de $B$:

• $A' = A + a$,
• $B' = B + b$.

Supongamos que se sabe que $A'\cup B'$ está contenida en una traducción de $A\cup B$, e $A'\cap B'$ está contenida en una traducción de $A\cap B$:

• $A'\cup B'\subset (A\cup B) + t_1$,
• $A'\cap B'\subset (A\cap B) + t_2$.

Es siempre cierto en este caso que $A'\cup B' = (A\cup B) + t_1$$A'\cap B' = (A\cap B) + t_2$?

Estoy realmente interesado en la forma natural de la generalización de esta pregunta cerrado pactos en topológico arbitrario grupos.

Sólo puedo probarlo en el caso de $A\cap B = \varnothing$, que es bastante fácil. No puedo demostrarlo, incluso para la línea real, incluso si asumimos que ese $A\cap B$ se compone de un solo punto.

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He puesto esta pregunta en un ligeramente modificada de la forma en MathOverflow.

Answer 1

Tales problemas son bastante específicos y no tienen un enfoque estándar. Voy a plantear la tuya en el divertimento, en nuestro seminario de "Topología Y Aplicaciones" – tal vez la mente colectiva será capaz de moverse más lejos que yo.

Puedo manejar el caso de $A\subset B\subset\Gamma$ donde $\Gamma$ es arbitraria topológico de Hausdorff grupo. Tenemos $bB\subset t_1B$. Vamos a tratar de manera similar a la Hinchazón Lema de la prueba. Poner $$T=\{x\in\Gamma: b^{-1}t_1B\subset xB\}.$$ We show that $T$ is a subsemigroup of $\Gamma$. Let $x,y\in T$. Then $b^{-1}t_1B\subconjunto xB\subconjunto xb^{-1}t_1B\subconjunto xyB$. Since $T$ is closed, $T$ is a compact semigroup. Therefore $T$ contains an idempotent $e$ (this is a well-known and easily provable fact in topological algebra), which should be the unit of $G$. Then $b^{-1}t_1B\subconjunto eB=B$ and $bB=t_1B$. Por lo tanto

$$bB\subset A'\cup B'=aA\cup bB\subset t_1(A\cup B)=t_1B=bB,$$

y todas las inclusiones son igualdades. Ahora tenemos $aA=aA\cap bB\subset t_2(A\cap B)=t_2A$. De manera similar a lo anterior, podemos demostrar que $aA=t_2A$. Por lo tanto

$$t_2(A\cap B)\subset t_2A=aA\subset aA\cap bB=A'\cap B'.$$