Por ejemplo, el paso de montaña lema, dice que si tienes conectado un "colector" con una función de Morse con dos mínimos locales, entonces existe un camino entre ellos pasa a través de un índice de un punto crítico. Me coloca el colector entre paréntesis porque podría ser de infinitas dimensiones, con condiciones apropiadas en la función de Morse. Esto ha sido utilizado para demostrar la existencia de un cerrado geodésica en cualquier métrica sobre una esfera. También se ha utilizado para construir inestable de las superficies mínimas,
que permite la resolución de problemas que iban más allá de la superficie mínima de la teoría.
Un poco más laxa interpretación de Morse teoría es Conley índice de la teoría. Dado un flujo en el colector que se ha aislado conjuntos invariantes puede definir el índice de un conjunto invariante a ser el cociente de una cerrada aislar barrio de los invariantes conjunto, por la "rampa", los puntos donde el flujo va hacia el exterior. A partir de esto se obtiene una secuencia espectral que converge a la homología del colector. Esto ha sido utilizado con gran efecto restringir la dinámica de un flujo en un colector. Por ejemplo, fue utilizado para demostrar la conjetura de Arnold sobre puntos fijos de Hamiltonianos flujos de tori.
La idea fue promovida por Floer para la construcción de un "Morse Homología de la Teoría que describe las rutas de la unión de dos subespacios de Lagrange en un simpléctica colector. Floer homología es, posiblemente, la herramienta más importante en bajas dimensiones topología desarrollado en los últimos 25 años, y se ha utilizado para resolver una infinidad de problemas que no podían resolverse de otra manera.
No arrojar sombra sobre el grado de la teoría, que ha sido importante en su propia luz, pero Morse teoría da lugar a una "categorification" de grado y de la característica de Euler, por lo que es sólo una más sofisticada invariante. A veces todo lo que necesita es una cuestión de grado, aunque.
¿Qué es categorification? Por ejemplo, el grado le da un número entero. Por ejemplo, si $S$ es un compacto de superficie en $\mathbb{R}^3$ límites de un sólido, y apuntando hacia afuera de la unidad normal de $g:S\rightarrow S^2$ es un mapa de la esfera, y es de grado es la mitad de la característica de Euler de la superficie.
En categorification de reemplazar un número entero por un vector en el espacio, o mejor aún, un graduado espacio vectorial, de modo que sea el rango, el cual sería la alternancia suma de las dimensiones de los espacios vectoriales recupera el entero. La alternancia suma de las filas de los grupos de homología de la superficie de la $S$ es la característica de Euler.
Así $$rnkH_0(S)-rnkH_1(S)+rnkH_2(S)$$ recovers the data from the degree of the Gauss map. Now however if you have a continuous map $f:S_1\rightarrow S_2$ de una superficie a otra induce lineal de mapas en la homología de grupos, que permite relacionar la información acerca de los puntos críticos en un objeto a otro.
En general, usted quiere que la suma de los enteros a pasar a la suma directa de espacios vectoriales y desea multiplicación para ir a producto tensor.
Categorification es uno de los mayores movimientos en la moderna geometría y ha cambiado dramáticamente la manera en que pensamos acerca de la física y geométrica de los mundos. El proceso se inició en el $19$siglo xx con la introducción de la idea de homología,
y fue a través de la construcción de la idea moderna de variedad algebraica a la idea moderna de lo que es una teoría cuántica de campos.
Aquí es un moderno y sofisticado declaración del problema de categorification.
Dado un anillo de $R$ desea saber si hay una categoría de bimodules más de un álgebra $A$, de modo que el grupo de Grothendieck (que es un anillo) de esa categoría es isomorfo a $R$.
