Deje $p(x)=x^4 +x^2 -1$.
Vamos a considerar primero cómo $p$ factores $\mathbb{Q}(\phi)$, donde
$\phi = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$, la proporción áurea. Sabemos que el polinomio mínimo de a$\phi$$x^2 - x -1$. Como se puede comprobar, más de $\mathbb{Q}(\phi)$ tenemos la factorización
$$p(x) = ( x^2 +1- \phi )(x^2 + \phi),
$$
Si ahora nos tocan $\sqrt{\phi-1}$, obtenemos la factorización
$$p(x) = ( x +\sqrt{\phi-1} )(x-\sqrt{\phi-1})(x^2+\phi)$$
más de $\mathbb{Q}(\phi, \sqrt{\phi-1}) = \mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$.
La extensión de $\mathbb{Q}(\phi) / \mathbb{Q}$ es de segundo grado y la extensión de
$\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})/\mathbb{Q}(\phi)$ fue cuadrática, por lo que tenemos
$[\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}):\mathbb{Q}]=4$.
Tenga en cuenta que ese $\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ es un subcampo de los reales. Dado que las raíces de
$x^2+\phi$ no son reales, $\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ no puede ser la división de campo de la $p(x)$.
Si nos tocan $\sqrt{-\phi}$, obtenemos la factorización
$$p(x) = ( x +\sqrt{\phi-1} )(x-\sqrt{\phi-1})(x + \sqrt{-\phi})(x-\sqrt{-\phi}),$$
más de $F=\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}, \sqrt{-\phi})$, que es finalmente el producto de factores lineales.
Ahora $F/\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ es una ecuación cuadrática de la extensión, por lo $[F:\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})]=2$. Por lo tanto,$[F:\mathbb{Q}]=8$.
Así, la división de campo de la $x^4 +x^2 -1$ $\mathbb{Q}$ es
$F=\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}, \sqrt{-\phi})$, una extensión de grado 8.
