encontrar una división de campo de la $x^4+x^2-1$ $\mathbb{Q}$

Question

Estoy tratando de encontrar una división de campo y su grado de $x^4+x^2-1$ $\mathbb{Q}$

Puedo hacer una sustitución de $x^2=u$ yo $u^2+u-1=0$ y 4 soluciones

$u_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})}$

$u_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\pm i\sqrt{\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})}$

Así que supongo que voy a necesitar para anexar $i$ y también, decir $\alpha:=\sqrt{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})}$, a continuación, obtener también los poderes de $\alpha$

Así que voy a necesitar la siguiente extensión

$\mathbb{Q}(i,\alpha)$? con base

$\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,i,i\alpha,i\alpha^2,i\alpha^3\}$ por lo que la extensión tendrá grado 8. Es este un argumento suficiente?

Answer 1

Deje $p(x)=x^4 +x^2 -1$. Vamos a considerar primero cómo $p$ factores $\mathbb{Q}(\phi)$, donde $\phi = \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$, la proporción áurea. Sabemos que el polinomio mínimo de a$\phi$$x^2 - x -1$. Como se puede comprobar, más de $\mathbb{Q}(\phi)$ tenemos la factorización $$p(x) = ( x^2 +1- \phi )(x^2 + \phi),$$ Si ahora nos tocan $\sqrt{\phi-1}$, obtenemos la factorización $$p(x) = ( x +\sqrt{\phi-1} )(x-\sqrt{\phi-1})(x^2+\phi)$$ más de $\mathbb{Q}(\phi, \sqrt{\phi-1}) = \mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$. La extensión de $\mathbb{Q}(\phi) / \mathbb{Q}$ es de segundo grado y la extensión de $\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})/\mathbb{Q}(\phi)$ fue cuadrática, por lo que tenemos $[\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}):\mathbb{Q}]=4$.

Tenga en cuenta que ese $\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ es un subcampo de los reales. Dado que las raíces de $x^2+\phi$ no son reales, $\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ no puede ser la división de campo de la $p(x)$.

Si nos tocan $\sqrt{-\phi}$, obtenemos la factorización $$p(x) = ( x +\sqrt{\phi-1} )(x-\sqrt{\phi-1})(x + \sqrt{-\phi})(x-\sqrt{-\phi}),$$ más de $F=\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}, \sqrt{-\phi})$, que es finalmente el producto de factores lineales.
Ahora $F/\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})$ es una ecuación cuadrática de la extensión, por lo $[F:\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1})]=2$. Por lo tanto,$[F:\mathbb{Q}]=8$.

Así, la división de campo de la $x^4 +x^2 -1$ $\mathbb{Q}$ es $F=\mathbb{Q}(\sqrt{\phi-1}, \sqrt{-\phi})$, una extensión de grado 8.