Ha sido un largo tiempo desde que he estudiado integrales, por lo que esta pregunta puede sonar estúpido. Iba a través de esta página de la wiki, y llegó a través de la siguiente desigualdad:
$$\int_{1}^{n} \log x \,dx \le \sum_{x = 1}^{n}\log x$$
¿Por qué esta desigualdad verdadera?
Ahora, mi entendimiento es que la integral en el lado izquierdo es el área bajo la curva de $y = \log x$$x = 1 \text{ to } n$. También, esta curva es siempre creciente, y no negativo en $[1 \dots \infty)$. Como para la suma, puede ser de forma gráfica/geométricamente representan como rectángulos de ancho 1 en el eje X, y la altura de la $\log x$ integral de los valores de $x$. Por eso, $\log 3$ puede ser representado como un rectángulo de $x = 3 \text{ to } 4$ de la altura de la $\log 3$. Entonces la suma es el total de área de estos rectángulos. Desde el último rectángulo va hasta $n+1$, está más allá del límite superior de la integral. Aparte de eso, todos los demás rectángulos tienen área menor que las correspondientes secciones de la curva (puesto que no es negativo y el aumento en el cualquier sección después de $x = 1$). Así, obtenemos la evidente desigualdad:
$$\int_{1}^{n} \log x \,dx \ge \sum_{x = 1}^{n-1}\log x$$
Cómo se realiza la suma de los $\log n$ plazo para el lado derecho de cambiar la desigualdad? ¿Cómo puede la primera desigualdad ser probada?
