Cada fracción $ > 1$ se producen como $\sigma(n)/n$ algunos $n$?

Question

Aquí $\sigma$ es la suma de divisor de la función, por lo que $\sigma(2)/2 = 3/2, \sigma(6)/6 = 2$, $\sigma(24)/24 = 5/2$, $\sigma(11)/11 = 12/11$ etc.

He encontrado que es difícil encontrar información sobre estas fracciones por google, no en lo más mínimo porque escribiendo $\sigma$ a google le dará un montón de enlaces acerca de la $\Sigma$.

Me imagino que hay es un elemental argumento de por qué la respuesta es " no " o es un conocido problema abierto, pero no pude encontrar la evidencia para cada opción, así que toda ayuda es bienvenida.

Answer 1

Usted puede estudiar las fracciones mediante el uso de esta fórmula para calcular el $\sigma(n)$ : si $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}$ es la escritura de $n$ como un producto de potencias de números primos, entonces $$\sigma(n)=\prod_{i=1}^k \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}$$ así $$\frac{\sigma(n)}{n} = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i^{\alpha_i+1}-p_i^{\alpha_i}}$$ Ahora no esta cubierta de cada fracción mayor que $1$, yo no sé.

Un punto de partida para tus investigaciones : Divisor de la función.