Condiciones para ser armónica en una región $R$

Question

Demostrar que la función de $G=\ln|f(z)|$ es armónica en una región $R$ si $f(z)$ es analítica en $R$ también $f(z)\cdot f'(z)$ no es igual a cero en $R$.

Mi dificultad es que la expresión para el Laplaciano de $G$ es muy grande y feo, y sé que tengo que aplicar la de Cauchy-Riemann Ecuaciones en algún lugar , pero no me queda claro cómo y dónde. También la condición de la multiplicación de la función compleja, con sus derivados no son cero se ve bastante misterioso . Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Gatillo advertencia: Si la frase "de múltiples valores de la función de" causa dolor, entonces deja de leer aquí.

Supongamos que definimos $$ \operatorname{Log} z = \log |z| + i\arg z \tag 1 $$ donde $\operatorname{Log}$ es "múltiples valores" porque $\arg$ es de múltiples valores. Las diferentes ramas de $\operatorname{Log}$ difieren por una constante y así todos tienen la misma derivada, que es $1/z$. Si te gusta, sólo restringir la atención a algunos de la región dentro de la cual se $\operatorname{Log}$ es de valor único. Entonces es holomorphic, y por lo tanto armónica. Si $f$ es holomorphic, a continuación, la regla de la cadena nos dice $\operatorname{Log}\circ f$ es holomorphic.

Así que supongamos que usted puede probar

• $(1)$ es holomorphic (tal vez mostrando que es localmente una función inversa de a $\exp$?), y
• La parte real de un holomorphic función es armónica.

A continuación, tienes que hacerlo. Si tu pregunta es cómo probar estos dos puntos, entonces yo tendría que añadir algo más, pero de lo contrario tal vez espero que esto responda a su pregunta.