Cómo obtener la suma de la siguiente serie? $\sum_{n=1}^\infty{\frac{n^2}{2^n}}$

Question

Parece que me estoy perdiendo algo acerca de esto. Primero de todo, la serie es convergente: $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{-n-1} (n+1)^2}{2^{-n} n^2}=\frac{1}{2}$ (ratio test)

Lo que traté de hacer es encontrar el límite de una suma parcial $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ como sigue: $S_n=\frac{\frac{1}{6} n (n+1) (2 n+1)}{\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{2 \left(1-\frac{1}{2}\right)}}$. Aún así, el límite es de $\infty$ y claro que estoy haciendo algo mal.

Answer 1

Deje $S(t)$ ser representada por la serie

$$S(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{-nt}=\frac{1}{e^{t}-1}$$

$t>0$.

A continuación, tenga en cuenta que tenemos

$$S''(t)=\sum_{n=1}^\infty n^2e^{-nt}=\frac{e^t(e^t+1)}{(e^t-1)^3}$$

Ahora, vamos a $t=\log(2)$

Answer 2

$$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}&\implies\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}=2\tag{1}\\ \sum_{n=0}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}&\implies\sum_{n=0}^\infty\frac{n}{2^{n-1}}=4\tag{2}\\ \sum_{n=0}^\infty n(n-1)x^{n-2}=\frac2{(1-x)^3}&\implies\sum_{n=0}^\infty\frac{n(n-1)}{2^{n-2}}=16\tag{3} \end{align} $$ La adición de $\color{#CCC}{x^2=}\frac14$ veces $(3)$ $\color{#CCC}{x=}\frac12$veces $(2)$ da $$ \color{#CCC}{\sum_{n=0}^\infty n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\implica}\sum_{n=0}^\infty\frac{n^2}{2^n}=6\etiqueta{4} $$

Answer 3

Probablemente es más fácil pensar en términos de potencia de la serie. Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n&=x\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1}=x\frac{d}{dx}\left[\sum_{n=1}^{\infty}nx^n\right]. \end{align*} $$ Se puede ver cómo encontrar un explícito de la forma funcional para la suma en el interior de la derivada?

Answer 4

Supongamos $|x|<1$ en la última pones $x=\frac12$ $$s_1=1+x+x^2+x^3+x^4+...=\frac{1}{1-x}$$nw find $s'_1$ $$s'_1=0+1+2x+3x^3+4x^3+5x^4+...+nx^{n-1}+...=(\frac{1}{1-x})'\\1+2x+3x^2+4x^3+...=\frac{1}{(1-x)^2}$$now multiply by $x$ $$S_2=xS'_1=x^1+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+...=\frac{x}{(1-x)^2}$$ ahora encontrar $S_2'$ $$S'_2=1+2^2x^1+3^2x^2+4^2x^3+5^2x^4+...+(n^2x^{n-1})+...=(\frac{x}{(1-x)^2})'$$finally :multiply by $x$ $$xS'_2=1^2x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+...(n^2x^n)+...=x(\frac{x}{(1-x)^2})'\\ \sum_{n=2}^{\infty}n^2x^n=x(\frac{x}{(1-x)^2})'-x$$put $x=\frac12$ $$\sum_{n=2}^{\infty}n^2(\frac{1}{2})^n=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}$$ para el ajuste $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}=(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n} )-\frac{1^2}{2^1}$$ you can find $$x(\frac{x}{(1-x)^2})'-x$$ then put $x=\frac12$

Answer 5

$$S_0:=\sum_{k=1}^\infty2^{-k}=1.$$

$$S_1:=\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}k=\sum_{k=2}^\infty 2^{1-k}(k-1)=2(S_1-S_0)$ $ , de modo que

$$S_1=2.$$

Siguiente

$$S_2:=\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}k^2=\sum_{k=2}^\infty 2^{1-k}(k^2-2k+1)=2(S_2-2S_1+S_0)$$

y

$$S_2=6.$$

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Usted puede continuar de manera sistemática, utilizando el triángulo de Pascal

$$S_3=2(S_3-3S_2+3S_1-S_0)\to S_3=26$$ $$S_4=2(S_4-4S_3+6S_2-4S_1+S_0)\to S_4=150$$$$\cdots$$

$$S_n=2\sum_{j=0}^{n-1}\binom nj(-1)^{n-1-j}S_j$$