Isham y Doering han escrito una serie de artículos explorar cómo a tierra física en topoi. Ahora la lógica interna de los topoi es de orden superior escrito intuitionistic lógica. En su teoría de lo que es el papel de intuitionistic lógica? ¿Cuáles son los tipos en su teoría?
También he hecho esta pregunta en Matemáticas.Desbordamiento
Dado un $C^\ast$-álgebra $A$, su "Bohr topos" (ver allí por una encuesta) es la presheaf topos en su conmutativa subalgebras. La idea aquí es que si pensamos en $A$ como el álgebra cuántica de los operadores de un mecánico-cuántica del sistema (por ejemplo todos los operadores acotados en el espacio de Hilbert de los estados de un sistema), entonces la conmutativa subalgebras corresponden a clásicamente simultánea observables, y un presheaf en estos es algo que puede ser "investigado" por todos "clásica contextos". Desde Niels Bohr, en su informales, escritos propagan la idea de que lo que la mecánica cuántica es, debe ser communicatable por observaciones clásicas, esto ha sido argumentado para formalizar la opinión de Bohr sobre la física cuántica.
En cualquier caso, los tipos en la lógica interna de la Bohr topos, por lo tanto los objetos de la Bohr topos, son todas las "observaciones comprobable en la clásica contextos".
El principal resultado de esta construcción se puede resumir de la siguiente manera: un clásico observable interna a la Bohr topos es equivalente cuántico observable en $A$, en el sentido de QM formulado en términos de álgebra de operadores. Ver en la cinemática de una Bohr "topos" para más detalles. Esto puede sentirse como un satisfactorio estado de cosas. Sin embargo, como todavía no está muy claro qué cosa esto va a provocar.
Uno debe tener cuidado con exagerar lo que Bohr toposes lograr. Si ellos sirven como una "fundación de la física" todo tiene que ser demostrado. Hasta ahora sirven para formalizar el único estado de los espacios de la mecánica cuántica de sistemas. Efectivamente son una manera de mirar Hilbert espacios que la noción de quantum observables se ajusta de forma más natural con la de clásicos de las características observables.
Ya dynamics (por ejemplo, Hamiltonianos) no es capturado por Bohr toposes como tal. Mi estudiante Joost Nuiten mostró cómo uno puede formular las redes locales de características observables de los algebraicas QFT en términos de gavillas de Bohr toposes en el espacio-tiempo. Ver Nuiten de la tesis de licenciatura. Su principal resultado es que la causal localidad de la teoría cuántica de campos es equivalente a un descenso de la propiedad de la colección de Bohr toposes asignado a cada subconjunto abierto del espacio-tiempo.
Este incorpora cuántica de campos teóricos de la dinámica en la teoría de Bohr toposes. Pero aquí, también, no queda muy claro en la actualidad lo que esto va a provocar. Aunque me parece interesante, está lejos de ser una base para todos los de la física. Puede ser pensado como un topos de la teoría de la formulación de AQFT, aunque. Bueno como es, si AQFT es incluso un fundamento de todos Lorenz teoría cuántica de campos es discutible.
Si uno realmente quiere ver a los fundamentos de la física, hay que cavar un poco más profundo, diría yo. Bastante propuesta detallada de cómo ir sobre esto que he estado describiendo en el Sintético de la Teoría Cuántica de campos y en los artículos enlazados a partir de ahí.
Por cierto, Joost Nuiten es sólo el día de hoy la defensa de su tesis de maestría sobre esto más integral del tema. Ver en la tesis de maestría Nuiten su obra "Cohomological la cuantificación de los locales prequantum límite de la teoría de campo". Me dio una charla acerca de esto hace dos días en la "Geometría y Física XI"-taller en Pittsburgh, ver Motivic la cuantificación de los locales prequantum la teoría de campo.
Esto describe una historia en la que uno empieza en el infinito-topos teoría y descubre que en todo local prequantum la teoría de campo y, finalmente, su motivic de cuantización locales de la teoría del campo cuántico. Los ejemplos de la sección de Nuiten la tesis muestra cómo ordinaria de la mecánica cuántica se reproduce de esta manera, la cuantificación de los colectores de Poisson, de Poisson-modelo topológico de las cadenas, de tipo II y cadenas de heterotic cadenas, reproduciendo en partcicular la universidad de Witten género función de partición de la heterotic 2d sigma-modelo de la teoría de campo. Si nada más, esto demuestra, al menos, que no es trivial física genuina capturado por esta formalización.
Mirando el primer papel en la serie, Un Topos de la Fundación para la Física: I. los Lenguajes Formales para la Física
Dado un sistema físico cerrado, una teoría en la que se trata de un orden superior, escrito intuitionistic lógica de $L$, lo que ha $\Sigma$, el tipo de espacio de estado; y $R$, la cantidad, el tipo de valor; y la más alta tipos son observables $A:\Sigma \rightarrow R$. Proposiciones sobre el sistema son los subtipos de $\Sigma$, con lo cual forma un álgebra de Heyting, y que se asignan valores de verdad a través de la Verdad de tipo $\Omega$, que es el sub-identificador de objeto.
A continuación, una representación de $L$ en un topos $T$ es una concreta teoría física. Cuando el topos $T$$Set$, esto se reduce a la clásica realista descripción, donde explican las proposiciones sobre el sistema son manejados por la lógica Booleana, en lugar de la intuitionistic lógica de los topos.
Se justifica la introducción de una cantidad-tipo de criticar el supuesto de que las cantidades que debe ser un valor real. Como para intuitionistic lógica, dicen en nota a pie:
La principal diferencia entre teoremas demostrado el uso de Heyting la lógica y los uso de la lógica Booleana es que las pruebas por la contradicción no puede ser utilizado en la antigua. En particular, esto significa que no se puede demostrar que algo existe con el argumento de que la suposición de que no conduce a la contradicción; en cambio es necesario para proporcionar un constructiva de la prueba de la existencia de la entidad de que se trate. Podría decirse que esta no pone ninguna restricción importante en la construcción de teorías de la física.
Uno podría argumentar que esto es intuitionistic lógica, visto desde un físico punto de vista, en tanto la misma manera que los físicos jugar rápido y suelto con el cálculo y la limitación de los argumentos.
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