Encontrar la superficie de menor área se extendió por un determinado contorno

Question

Estoy leyendo un libro sobre Cálculo de Variaciones, y estoy confundida por el siguiente problema:

Encontrar la superficie de menor área se extendió por un determinado contorno.

La respuesta es escribir un funcional de la forma:

$$J [z] = \iint_R \sqrt {1+z_x^2+z_y^2} dx dy $$

Ahora, el uso de la ecuación de Euler:

$$F_z-\frac {\partial}{\partial x} F_{z_x}-\frac {\partial}{\partial y} F_{z_y} = 0$$

Donde $F = \sqrt {1+z_x^2+z_y^2} $

El cálculo no me confundan tanto como lo que en realidad estamos encontrando.

Puedo ver que el argumento de la integral es muy análoga a la arclength. Cuando la búsqueda de la curva de menos de longitud que conecta dos puntos, se aplica la única variable de la ecuación de Euler: $$\int_L \sqrt{1+y'^2}dx $$

Sin embargo, no estoy del todo seguro de que la fórmula para $J [z] $ viene, ni lo que significa para una superficie para ser atravesado por un contorno (de hecho, yo no soy todo lo que ciertos de lo que es un contorno es)

Estoy disfrutando el libro, pero definitivamente he sido ambicioso para intentar abordar este tema, ya que parece tener un número de sujetos soy sólo vagamente familiarizado con por sentado.

Answer 1

La notación de su pregunta sugiere (es decir, es coherente con) la interpretación siguiente:

• $R$ denota un almacén de avión región cuyo límite se compone de uno o más simple de las curvas cerradas.

• Un contorno (azul) es un espacio curva obtenida como la gráfica de una superficie lisa, con un valor real de la función de $u$ sobre el límite de $R$.

• Una superficie que abarca un contorno (sombreada) es la gráfica de una superficie lisa, con un valor real de la función de $z$ $R$ cuyos valores están de acuerdo con $u$ sobre el límite de $R$.

El funcional $J$ es el área de superficie para la gráfica de $f$; por la búsqueda de puntos críticos de $J$, por lo que estamos encontrando en las superficies de un determinado tipo (es decir, gráficos), cuya área es fundamental entre todas las superficies que abarcan el dado de contorno (wireframe).

Answer 2

Este clásico de la Meseta del problema de las superficies mínimas, donde la media de curvatura se desvanece. Las soluciones son debido a

Radó, René y Lagrange

Es visualizada físicamente por el jabón películas que abarca el límite especificado. Encontrar las coordenadas de un sesgo cuadrilátero 3D cerrado de contorno o de bucle (donde x,y,z son funciones de un único parámetro que podría ser de arco,) implica hyperelliptic integrales.

Answer 3

Configuración $$ \begin{align} 0 &=\delta\iint_R\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=\iint_R\frac{z_x\delta z_x+z_y \delta z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=-\iint_R\delta z\frac{\partial}{\partial x}\frac{z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &-\iint_R\delta z\frac{\partial}{\partial y}\frac{z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=-\iint_R\delta z\frac{z_{xx}\left(1+z_x^2+z_y^2\right)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &+\iint_R\delta z\frac{z_x^2z_{xx}+z_xz_yz_{xy}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &-\iint_R\delta z\frac{z_{yy}\left(1+z_x^2+z_y^2\right)}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &+\iint_R\delta z\frac{z_y^2z_{yy}+z_xz_yz_{xy}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\ &=-\iint_R\delta z\frac{z_{xx}\left(1+z_y^2\right)+z_{yy}\left(1+z_x^2\right)-2z_xz_yz_{xy}}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}^3}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{align} $$ para todos los $\delta z$, requiere $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{z_{xx}\left(1+z_y^2\right)+z_{yy}\left(1+z_x^2\right)-2z_xz_yz_{xy}=0} $$ lo cual es cierto cuando la superficie ha de cero Significa que la Curvatura.