¿Hay algún anillo no monótono que no tenga un ideal máximo?

Question

¿Hay algún anillo no monótono que no tenga un ideal máximo?

Sabemos que cada anillo conmutativo tiene al menos un ideal máximo -desde el Álgebra Avanzada 1 cuando estamos estudiando Módulos que lo hace como un Teorema muy fácil allí.

Decimos un anillo $R$ es monoide si tiene un elemento de identidad multiplicativa, que si denotamos este elemento con $1_{R}$ que deberíamos tener: $ \forall r \in R;\: r.1_{R}=1_{R}.r=r$

Answer 1

No todos los anillos no unitarios (o rng) tienen un ideal máximo. Por ejemplo, tomemos $( \mathbb {Q},+)$ con una multiplicación trivial, es decir. $xy=0$ para todos $x,y \in \mathbb {Q}$ entonces un ideal máximo no es más que un subgrupo máximo. Ver esta pregunta por qué no existe tal grupo.

Answer 2

Si $D$ es un dominio de valoración con un ideal máximo único $M$ entonces hay algunas condiciones en las que $M$ es un ejemplo de un rng conmutativo sin ideales máximos.

Según recuerdo, uno puede elegir un dominio con un grupo de valores dentro de $ \Bbb {R}$ de tal manera que el grupo no tiene ningún elemento menos positivo. Entonces, se puede argumentar que el ideal máximo de ese dominio de valoración $\{r \mid \nu (r)>0 \textrm { or } r=0\}$ es un rng sin ideales máximos.

Escaneando la web, creo que este pdf contiene un argumento de ese tipo.