Encontrar el entero más pequeño $n$ tal que $$\left(1-\frac{n}{365}\right)^n < \frac{1}{2}.$$
No puedo usar una calculadora, y no sé por dónde empezar.
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Did
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Para encontrar un entero $n$ tal que esto tiene, vuelva a escribir la desigualdad como $1-(n/365)<\exp(-(\ln2)/n)$ y utilice el hecho de que $\exp(-x)>1-x$ por cada $x$. A continuación, $n$ va a hacer tan pronto como $1-(n/365)<1-(\ln2/n)$ , $n^2>365\cdot\ln2$. Desde $\ln2<.7$, uno sabe que $365\cdot\ln2<365\cdot.7=255.5<256=2^8$, por lo tanto todos los $n\geqslant2^4=16$ va a hacer.
Los valores numéricos el razonamiento anterior requiere saber para ser realizado sin una calculadora son el hecho de que $\ln2$ es (sólo) por debajo de $.7$, y el de las primeras potencias de $2$.
Lo que ocurre es que la desigualdad no se cumple para $n=15$ por lo tanto $n=16$ es la respuesta correcta, pero en el momento no sé cómo demostrar a esta parte, sin una calculadora, excepto el uso de la (alternando) la expansión de la exponencial en la segunda orden de límite inferior. Esto es engorroso, pero aquí vamos.
Desde $\exp(-x)<1-x+\frac12x^2$ por cada positivo $x$, es suficiente para comprobar que para $n=15$, $n^2<365\cdot\ln2\cdot(1-\ln2/n)$, lo cual es cierto si $\ln2>\frac{n}2\left(1-\sqrt{1-\frac{4n}{365}}\right)$. El uso de $\sqrt{1+x}<1+\frac12x$ $x=\frac{4n}{365-4n}$ rendimientos $\sqrt{1-\frac{4n}{365}}>\frac{365-4n}{365-2n}$. Por lo tanto $\ln2>\frac{n^2}{365-2n}$ es suficiente, que es, para $n=15$, $\ln2>\frac{45}{67}$. Desde $\frac{45}{67}\approx.672$, esto demuestra una cosa, si uno sabe que $\ln2$ es mayor que $.68$.
El valor numérico con el razonamiento anterior requiere saber para ser realizado sin una calculadora es el hecho de que $\ln2$ es de alrededor de $.69$.
Jeff Fritz
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Usted puede obtener una estimación inicial, por
$$ \begin{aligned} &&\left(1-\frac{n}{365}\right)^n &< \frac{1}{2}.\\ &\Leftrightarrow & n\ln\left(1-\frac{n}{365}\right) &< -\ln 2\\ \end{aligned} $$
y el uso de $\ln(1 + x)\approx x$ pequeña $x$ para llegar a $n\approx \sqrt{365\ln2}$. Entonces, usted necesita para adivinar un valor para esta raíz cuadrada, y comprobar si realmente se adapte a sus necesidades.
