¿Cuál es el menor múltiple positivo de $7$ que es también un poder de $2$ (si existe)?
No es una tarea pregunta, yo no estoy en la escuela, me pregunto cuál es la respuesta.
Respuestas
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Xenph Yan
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No hay potencia de 2 es un múltiplo de 7, por la unicidad de la descomposición en factores primos, un número $n$ no puede tener dos primeros factorizations $$n=2^a$$ y $$n=7^{b}p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_r^{a_r}$$ donde $b\geq1$, debido a la factorizations debe ser diferente (el poder de la 7 que ocurren en la primera es $7^0=1$, mientras que el poder de la 7 que ocurren en el segundo es $7^b$ donde $b\geq1$). Por lo tanto, un número no puede ser una potencia de 2 y divisible por 7.
No hay ninguno. Los únicos divisores de un número del tipo de $2^n$ son de la forma $2^m$.
Una manera de ver esto es que las potencias de 2 siempre dejan restos de 1,2 o 4 cuando se divide por 7:
$2^1$ deja un resto de 2 $2^2$ deja un resto de 4 $2^3$ deja un resto de 1
A continuación, puede ver que cualquier otro poder, de 2 de dejar un resto de 1,2 o 4, cuando se divide por 7,por lo que , cuando se utiliza el algoritmo de la división a=pq+r con a=2^n y p=7, r nunca será 0, que es lo que quieres para 7 (y por lo tanto un múltiplo de 7) para dividir $2^n$ .
Oli
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89
Podemos probar un resultado que responde a la pregunta y muestra un poco más. Deje $7k$ positivo, varios de $7$. A continuación, $\log_2(7k)$ es irracional.
Supongamos que al contrario que $\log_2(7k)=\frac{a}{b}$ donde $a$ $b$ son enteros. Entonces $$7k=2^{a/b} \qquad\text{and therefore}\qquad (7k)^b=2^a.$$ Esto es imposible, ya $7$ divide $(7k)^b$ pero $7$ no divide $2^a$. La razón es que si una prima (en este caso $7$) divide a un producto, a continuación, divide uno de los términos. Sin embargo, $7$ no divide $2$.
En particular, la prueba demuestra que el $\log_2(7k)$ no es un número entero, es decir, que $7k$ no es una potencia entera de $2$.
No hay nada particularmente especial aquí acerca de $7$$2$. La cosa interesante es que el argumento muestra, de una manera muy simple, que, por ejemplo, $\log_2(7)$ es irracional. Los resultados de este tipo están entre los más simples para demostrar la irracionalidad de los resultados.
