Abierto superconjunto de $\mathbb{Q}$

Question

Que $S$ ser un conjunto abierto tal que $\mathbb{Q}\subset S$. También podemos definir un conjunto de $T=\mathbb{R}\setminus S$. He estado tratando de probar o refutar si $T$ podría ser incontable. ¿Sospecho que $T$ tiene que ser a lo más contable, es mi intuición correcta?

Answer 1

Su intuición es razonable, pero incorrecta. SUGERENCIA: los racionales son numerables, por lo que podemos enumerar como $\mathbb{Q}=\{q_1, q_2, q_3, . . .\}$ (obviamente esta lista no está "en orden", en cualquier sentido, pero está bien).

Ahora, vamos a $U_n=(q_n-2^{-n}, q_n+2^{-n})$. Cada una de las $U_n$ es abierto, por lo que la unión de $V=\bigcup U_n$ está abierto, y claramente $V$ contiene $\mathbb{Q}$. ¿Cómo demostrar que $\mathbb{R}\setminus V$ es incontable?

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Si usted no está familiarizado con la medida de Lebesgue, la anterior sugerencia será muy difícil. Un enfoque alternativo es a través de la categoría de Baire teorema: vamos a $C$ ser el conjunto de Cantor, y mostrar que hay algo de real $r$ tal que $C+r=\{x+r: x\in C\}$ no contiene los números racionales. A continuación, el complemento de a $C+r$ está abierto, contiene los racionales, y tiene innumerables complemento. SUGERENCIA: Para utilizar BCT, muestran que para cada racional $q$, la $B_q=\{r: q\in C+r\}$ es denso en ninguna parte. Luego, ya sólo hay countably muchos racionales, BCT implica que $\bigcup_{q\in\mathbb{Q}} B_q$ es escaso, y por lo tanto,$\not=\mathbb{R}$ . . .

Answer 2

Expresado diferentemente, la condición en $T$ es que pueden tener ningún elemento racional y no racionales puntos límite.

Pero incluso sin teoría de la medida, podemos especificar fácilmente tal un $T$ incontable--por ejemplo el conjunto de todos los números en $(0,1)$ en el que la cifra de th de $n$ de la representación decimal es $3$ cuando $n$ es un cuadrado perfecto y o $4$ o $5$ lo contrario.

Answer 3

(Supongo que están trabajando en el espacio topológico $\mathbb{R}$)

Hay un buen truco para hacer esto con la teoría de la medida. Utilizando el hecho de que los racionales son numerables — y por lo tanto enumerable — usted puede construir las $S$ mediante la selección de un número real positivo $m$ y la definición de $S$ a ser la unión de

• Un conjunto abierto de longitud $m/2$ contiene en el primer racional
• Un conjunto abierto de longitud $m/4$ contienen en la segunda racional
• Un conjunto abierto de longitud $m/8$ contienen en la tercera racional
• Un conjunto abierto de longitud $m/16$ contienen en la cuarta racional
• $\vdots$

El total de la medida de $S$ es claramente no mayor que la suma de las longitudes de estos intervalos, es decir,$m$. En particular, es finito.

Por lo tanto, la medida de la correspondiente $T$ debe ser infinito, y así innumerables.

Answer 4

COMO racionales forman un conjunto contable, enumerarlos y tomar un intervalo abierto de longitud $\frac{\epsilon}{2^n}$ alrededor del número $n$-th racional. Unión de estos intervalos abierto es un candidato para $S$ en tu pregunta. La medida para este conjunto abierto es menor que $\epsilon$. Así que el complemento tiene medida positiva. ¿Puede ser contable?