Probar que si $a \ge c$ todos los $c < b$, $a \geq b$

Question

Deje $a$ $b$ ser elementos en un orden de campo, demuestran que, si $a \ge c$ por cada $c$ tal que $c \lt b$,$a\ge b$.

Mi idea de la prueba a continuación:

Deje $S = \{x | x<b\}$. A continuación, $a$ es un límite superior para $S$. Si puedo demostrar que $b$ es la menor cota superior para $S$, entonces se sigue de la definición de la menor cota superior de la que $a\ge b$.

Sin embargo, tengo un tiempo difícil demostrar la afirmación de que $b$ es la menor cota superior para $S$. Estoy en la dirección correcta? Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Supongamos que $a < b$. Deje $d = b-a$, de modo que $d > 0$.

Deje $c = b-d/2$. A continuación,$c < b$, pero $c = b-d/2 = b-d+d/2 =a+d/2 > un $ lo que contradice la suposición de que $a \ge c$ para cada $c < b$.

Por lo tanto $a \ge b$.

Answer 2

Este post es la intención de señalar un error en una versión anterior de la pregunta por la prestación de un contra-ejemplo a una imposible la prueba.

Deje $a = b^-$ donde $b^- = c$ y c es la surrealista número infinitamente cerca de b tal que ningún número es entre c y b y c < b. Entonces a < b. Conjetura contradicho. Por favor, pensar con más cuidado la próxima vez.

Answer 3

Como se señaló anteriormente, $a$ debe ser mayor que $c$ para este ser, posiblemente, comprobable. Posiblemente consulta con tu instructor? Typos de ocurrir...

Answer 4

Deje $S=\{c:c<b\} .$ Por hipótesis, $\forall c\in S\;(c<a).$ Así que si $a\in S$ $a<a,$ que no puede ser, porque "$<$" es irreflexiva. Todo el campo es igual a $S\cup \{b\} \cup \{d:d>b\} $ porque "$<$" satisface tricotomía. Desde $a\not \in S $ tenemos $a\in \{b\}\cup \{d:d>b\}.$ QED.

Tenga en cuenta que esto se aplica a cualquier linealmente conjunto ordenado.

Answer 5

pensar acerca de la definición de una ordenó campo. Como a y b son elementos del campo, (b-a) es en F. por lo tanto (b-a)'s inverso multiplicativo es en F. llamar a este inversa de x. obtenemos x(b-a) = e. xb-xa=e. tenga en cuenta que el correo no es el más pequeño de los elementos de la orden de campo, ¿por qué? recogida y>e, a continuación, y de la inversa debe ser menor que e (esto puede no ser cierto en un campo general, pero debe ser cierto en un orden de campo, por las propiedades de la orden de campo.) a continuación, a partir de aquí, usted puede crear un elemento entre la a y la b y la conclusión se siga. Esto es lo que yo haría. pero no 100% seguro de tho.