Vitali-tipo conjunto con dado medida exterior

Question

Es posible construir un no-medibles conjunto en $[0,1]$ de un determinado exterior de medida $x \in [0,1]$? Esto probablemente requerirá el axioma de elección. ¿Alguien tiene una sugerencia?

Edit: se me olvidó mencionar que el conjunto tiene que ser en $[0,1]$, lo que parecía "claro" en mi cabeza, pero que obviamente no lo es.

Edit 2: Ahora está claro que solo me falta una que no se pueden medir conjunto con exterior de la medida 1, de que puedo hacer cualquier otro. He visto una vez en algún sitio que hagan esto con la recursión transfinita (si no recuerdo mal), pero no recuerdo dónde y cómo, porque yo no sabía que la recursión transfinita era en aquel entonces.

Answer 1

Uno puede proceder directamente a la Vitali construcción, sin necesidad de ningún escalado.

Es decir, acaba de llevar a cabo la Vitali construcción, pero hay que asegurarse de que el resultado de la Vitali conjunto está contenido en el intervalo de $[0,a]$. Es decir, declarar que dos reales son equivalentes si su diferencia es racional, y observar que cada real es equivalente a la de un real en el intervalo de $[0,a]$. Deje $V\subset [0,a]$ seleccionar exactamente un elemento de cada clase de equivalencia. Observar que el racional traducciones $V+q$, de trabajo modulo $1$ así como de la relación de $V+q\subset [0,1]$, son disjuntas y unión para todo el intervalo de $[0,1]$. De ello se deduce fácilmente que el $V$ no es medible y tiene interior de medida $0$, ya que de lo contrario la traduce modulo $1$ habría medida infinita dentro de $[0,1]$, lo cual es imposible. Por lo tanto, el complemento de a $[0,a]-V$ no es medible y tiene exterior de medida $a$, como se desee.

Me gustaría señalar que este argumento muestra que el exterior de la medida de la clásica Vitali conjunto no está determinada por las características habituales de ese conjunto. Por ejemplo, si todos ustedes saben acerca de un conjunto de Vitali $V$ es que está contenida en $[0,1]$ y contiene exactamente un elemento de cada clase de equivalencia, entonces se sigue que $V$ no es medible y tiene interior de medida $0$, pero usted sabe, $V$ realmente está contenida en un pequeño intervalo de $[0,\epsilon]$, y puede tener pequeñas exterior de la medida.

Answer 2

Esta fue mi respuesta a la pregunta inicialmente formulada: una Vez que usted tiene una nonmeasurable conjunto con un límite exterior de la medida, usted puede obtener todos los valores positivos, por un reescalado.

Con el requisito adicional de que el conjunto está contenido en $[0,1]$, este argumento trabajar siempre y cuando usted tiene un nonmeasurable subconjunto de exterior de medida $1$. Sierpiński y Lusin mostró que $[0,1]$ puede ser descompuesto en una cantidad no numerable de nonmeasurable conjuntos de exterior de medida $1$ en un artículo publicado en 1917, pero no sé los detalles. Robert Israel bocetos de una construcción de un Vitali subconjunto de [0,1] con el exterior de la medida 1, de 1997 de la lesión.matemáticas post.

(Ah, y hablando estrictamente, la respuesta es no, usted no puede tener $x=0$; supongo que significaba $x\in(0,1]$.)

Como para el axioma de elección, no soy un experto, pero han dicho que es consistente con la ZF de que todos los subconjuntos de la recta real se Lebesgue medibles.

Pedro LeFanu Lumsdaine señala en un comentario de que el resultado se debe a Robert Solovay. La de 1970, el artículo es en JSTOR, y comienza de la siguiente manera: