Ir abajo teorema falla

Question

Tal vez este ejercicio proviene de algún libro de texto, pero no sé.

Se dice que este anillo extensión $k[x(x-1),x^2(x-1),z]\subset k[x,z]$ no tiene la propiedad de ir hacia abajo.

Observo que $k[x(x-1),x^2(x-1)]=\{f(x)\in k[x]|f(0)=f(1)\}$, y es isomorfo a $k[x(x-1),x^2(x-1),z]$ $k[x,y,z]/(y^2-xy-x^3)$. Tenemos un morfismo de $\mathrm{Spec}\ k[x,y,z]/(y^2-xy-x^3)$ $\mathbb{A}^2$.

Pero todavía no he resuelto el ejercicio. Y no sé cómo uno encontró este contraejemplo. ¿Por qué él consideró?

Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Puesto $T = k[x],\ x_1 = x(x-1),\ R = k[x_1,xx_1].$ tenga en cuenta que $T[z]$ es la integral de cierre de $R[z]$ desde $T$ es la integral de cierre de $R.$ A mostrar que GD falla por $R[z]\subset T[z]$ considera el primer ideales $P = x_1\:(z-x)\ \subset R[z]$ $Q = (x-1,z)\subset T[z].$ tenga en cuenta que $Q$ se encuentra sobre el primer $Q\cap R[z] = (x_1,xx_1,z)\supseteq P$ pero $T[z]$ no tiene ningún prime en $Q$ se encuentra por encima del $P.$

Tenga en cuenta que la GD teorema no se aplica ya que $R$ no es integralmente cerrado. Abajo está la discusión adicional de Matsumura, el Álgebra Conmutativa, p. 32.