Probar

Question

Traté de inducción, por lo que asumen la hipótesis e intentar Mostrar $5 \mid 2^{n+2} +3^{3n + 4}$ pero esto no ayuda. Traté de romper en primeras factorizaciones, pero no lo veo.

Answer 1

$2^{n+1}+3^{3n+1}=2\cdot2^n+3\cdot(3^3)^n$

$\equiv2\cdot2^n+3\cdot(2)^n\pmod5$ $3^3=27\equiv2\pmod5$

$\equiv2^n(2+3)\pmod5\equiv0$

Answer 2

Sugerencias:

$$2^{n+1}+3^{3n+1}=2(2^n+3^{3n-2})+25\cdot 3^{2n-1}$$

y utilizar la inducción en $\;n\;$...

Answer 3

Sugerencia: 1) $27 = 2 \mod 5$ y

2) $3=-2 \mod 5$

¿Puede u hacerlo?

Answer 4

Indirecta: $$ $$\begin{align}2^{n+2}+3^{3n+4}&=3^3\left(3^{3n+1}+2^{n+1}\right)+\left(2^{n+2}-3^3(2^{n+1})\right)\\&=5k+2^{n+1}(2-3^3)\\&=5k+5\ell\end{align}$$