Sobre la existencia de un campo "universal" sin elementos algebraicos

Question

Que $\mathfrak{M}$ ser un cardinal infinito. Tenga en cuenta todos los campos $F$ que tienen las siguientes propiedades:

(1) contiene un $F$ $\mathbb{Q}$.

(2) $F$ tiene cardinalidad $\leqslant \mathfrak{M}$.

(3) todos los elementos de $F \setminus \mathbb{Q}$ son trascendentales sobre $\mathbb{Q}$.

(Dicho campo no es necesario una extensión puramente trascendental de $\mathbb{Q}$.)

¿Existe un campo que satisface (1)-(3) y contiene una copia isomorfa de cualquier campo que tiene propiedades (1)-(3)?

Answer 1

Es sólo una suposición:

¿Qué $\mathfrak M$ número de trascendentales $(\xi_i)_{i<\mathfrak M}$ $\mathbb Q$ y considerar la clausura algebraica de $\mathbb Q(\xi_i)_i$?

Edición: En lugar de la clausura algebraica, considerar solamente (todas las raíces de) todos los polinomios irreducibles que tiene al menos una trascendental $\mathbb Q$ entre sus coeficientes...